Léo, não tenha dúvida, matemática é assim como um prédio bonito, bem construido. O que sustenta esta construção vistosa? É a base que geralmente não aparece.
A Álgebra permite a resolução de problemas que envolvem números desconhecidos. O desconhecido é representado por uma letra do alfabeto, relacionando os números conhecidos e os desconhecidos, montamos uma equação. Uma equação pode ser simplificada, para isso usamos os princípios matemáticos, o que facilita o encontro do número desconhecido.
Aprender equações faz com que novos circuitos sejam acionados em nosso cérebro, aumentando a nossa capacidade de resolver as questões do dia a dia, não só em relação aos números, mas em todo tipo de atividade.
Igualdade
Em uma igualdade, a expressão matemática situada à
esquerda do símbolo = (igual) é denominada
1º membro da igualdade.
A expressão matemática situada à direita do símbolo = (igual) é denominada
2º membro da igualdade.
Exemplos
6 + 4 = 10 (6+4 é o 1º membro e 10 é o 2º membro)
2³ − 5 = 3 (2³−5 é o 1º membro e 3 é o 2º membro)
Propriedades da igualdade
Reflexiva
5 = 5
5 ⁄ 7 = 5 ⁄ 7
a = a, para qualquer número raional a.
Simétrica
3 + 4 = 7 → 7 = 3 + 4
3³ - 4 = 23 → 27 = 3³ - 4
3² + 4² = 5² → 5² = 3² + 4²
a = b →b = a, para quaisquer a e b
Transitiva
2 + 6 = 8 e 9 - 1 = 8 → 2 + 6 = 9 - 1
2³ - 4 = 4 e 4 = 2 + 2¹ → 2³ - 4 = 2 + 2¹
3² + 4² = 5² e 5² = 25 → 3² + 4² = 25
a = b e b = c, para quaisquer a, b e c)
Princípios da equivalência
Aditivo
5 + 3 = 8 → (5 + 3) + 2 = (8) + 2 → adicionamos +2 aos dois membros
5 + 3 = 8 → (5 + 3) - 2 = (8) - 2 → adicionamos -2 aos dois membros
Adicionando um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, obtemos uma nova igualdade.
Multiplicativo
5 + 3 = 8 →(5 + 3) × 2 = (8) × 2 → multiplicamos os dois membros por 2
5 + 3 = 8 → (5 + 3) ÷2 = (8) ÷2 → dividimos os dois membros por 2
Multiplicando ou dividindo os dois membros de uma igualdade por um mesmo número diferente de zero, obtemos uma nova igualdade.
Equações
Para resolver um problema, transformamos uma sentença em palavras para uma sentença em linguagem matemática, com letras e símbolos. Veja:
Em uma corrida de automóveis, um corredor desistiu da competição ao completar 2 ⁄ 5 do percurso total da prova. Se tivesse percorrido mais 40 Km, teria cumprido a metade do percurso total. Qual é o percurso total dessa prova?
Está nos sendo pedido um certo número que represente, em quilômetros, o percurso total da prova; este número, indicaremos pela letra x , então:
2 ⁄ 5 x + 40 = 1 ⁄ 2 x
Lembre-se que x representa o percurso total.
Essa é uma sentença matemática representada por uma igualdade, sendo o x um número a ser encontrado para que essa igualdade se verifique.
Léo, aí está um exemplo, vou colocar mais alguns para ficar melhor.
Então, resolver uma equação é achar os possíveis valores (ou valor) que tornem a equação verdadeira. Veja um exemplo sem enunciado:
4x - 3 = 9 + x, (Conjunto Universo = Números Racionais)
4x - x = 9 + 3 ↔ Isolamos no 1º membro, os termos que apresentam a variável, e no 2º, os termos sem variável. (Léo, a variável aqui é o x )
3x = 12 ↔ Reduzimos cada um dos membros a um só termo.
x = 12 ⁄3
x = 4 ↔ Determinamos o valor da variável, conforme a regra:
ax = b → x = b ⁄ a (a ≠ 0)
4 pertence ao conjunto dos números raionais
V = {4} → raiz:4
Como verificar se o número encontrado é a solução da equação
- Substituímos a incógnita pelo número dado.
- Calculamos o valor numérico de cada membro da equação, separadamente.
- Se a igualdade obtida for verdadeira, o número dado é a solução da equação.
Exemplos
1º exemplo: Verificar se o número (− 6) é raíz da equação
3x − 5 = 5x + 7.
3x − 5 = 5x + 7
3 . (−6) − 5 = 5 (− 6) + 7 → substituímos a incógnita x pelo número (− 6)
− 18 − 5 = − 30 + 7
− 23 = − 23 → a sentença é verdadeira
Logo: O número (− 6) é a raiz da equação 3x − 5 = 5x + 7.
2º exemplo: Verificar se o número 2 é raiz da equação y² − 5y = 3y + 6.
y² − 5y = 3y + 6
(2)² − 5 . (2) = 3 . (2) + 6 → substituímos a incógnita y pelo número 2
4 − 10 = 6 + 6
− 6 = 12 → a sentença é falsa
Logo: O número 2 não é raiz da equação y² − 5y = 3y + 6.Continua
