TRANSFORMAÇÃO DE UMA BASE QUALQUER PARA A BASE 10

I - Decomposição de um número escrito em uma determinada base; transformação para a base 10

1º) Base 10
Seja, por exemplo, o número 5.386. Decompondo-o na soma dos valores relativos de seus algarismos, temos:
5.386 = 5.000 + 300 + 80 + 6
Como: 5.000 = 5 x 1.000 = 5 x 10 x 10 x 10 = 5 x 10³
300 = 3 x 100 = 3 x 10 x 10 = 3 x 10²
80 = 8 x 10 = 8 x 10¹
6 = 6

Vem: 5.386 = 5 x 10³ + 3 x 10² + 8 x 10¹ + 6
                                                                    ↓
                                                              base 10

Nota: Da esquerda para a direita:

O 4º algarismo aparece multiplicado pela 3ª potência da base

O 3º algarismo aparece multiplicado pela 2ª potência da base

O 2° algarismo aparece multiplicado pela 1ª potência da base (10)

Outros exemplos:
81.173 = 8 x 10⁴ + 1 x 10³ + 1 x 10² + 7 x 10¹ + 3
                                                                              ↓
                                                                      base 10

a.bcd = a x 10³ + b x 10² + c x 10¹ + d
                                                            ↓
                                                      base 10

2º) Base 4
Seja, por exemplo, o número 213_quatro (lembrando que no sistema de base 4 usamos somente os algarismos: 0, 1, 2, e 3).
Decompondo-o na soma dos valores relativos de seus algarismos, temos:
213₄ = 2 x 4² + 1 x 4¹ + 3
                                    ↓
                                base 4
Transformação para a base 10: efetuando o cálculo do segundo membro, encontramos o valor do número representado por 213₄ na base 10:

213₄ = 2 x 16 + 1 x 4 + 3

213₄ = 32 + 4 + 3

213₄ = 39₁₀
Logo, quem escreve 213₄, refere-se ao “trivial” número 39 na base 10.

3º) Base 2

Seja, por exemplo, o número 1101_dois (lembrando que no sistema binário são usados somente os algarismos 0 e 1).

Decompondo-o na soma dos valores relativos de seus algarismos, temos:

            1101₂ = 1 x 2³ + 1 x 2² + 0 x 2¹ + 1

            1101₂ = 1 x 8 + 1 x 4 + 0 x 2 + 1

            1101₂ = 8 + 4 + 0 + 1

            1101₂ = 13₁₀

II - transformação de um número escrito na base 10 para uma outra base

Nós já sabemos dividir números representados no sistema de numeração decimal; por isso, o processo a seguir é efetuar as divisões pelo número que representa a base, formando grupos equivalentes a essa base.
A técnica é a seguinte. Seja, por exemplo, transformar o número 39 para a base 4, isto é 39₁₀ = ?₄
Temos, efetuando as divisões por 4 e indicando-as de modo contínuo:
39 ÷ 4 = 9         resto    3 → 3º
  9 ÷ 4 = 2         resto    1 → 2º
2 menor que 4, logo:   2 → 1º

Tomam-se, agora, como algarismos do número procurado, os restos das divisões e o último quociente, escrevendo-os na ordem inversa daquela que foram obtidos: 213.

Logo: 39₁₀ = 213₄
Prova: 213₄ = 2 x 4² + 1 x 4¹ + 3 = 39₁₀

Outros exemplos:
1º) 13_{10 =} ?₂
Temos: 13 ÷ 2 = 6         resto    1 →4º
              6 ÷ 2 = 3         resto    0 → 3º
              3 ÷ 2 = 1         resto    1 → 2º
            1 menor que 2, logo:    1 → 1º

             Logo: 13₁₀ = 1101₂

Prova: 1101₂ = 1 x 2³ + 1 x 2² + 0 x 2¹ + 1 = 13₁₀

2º) 57_{10 =} ?₆

     57 ÷ 6 = 9        resto    3 → 3º
     9 ÷ 6 = 1         resto    3 → 2º
1 é menor que 6,    logo,    1 → 1º
          Temos: 57₁₀ = 133₆
Prova: 133₆ = 1 x 6² + 3 x 6¹ + 3 = 57₁₀

III - Numeração binária
É o mais usual para os cálculos atuais. Emprega somente dois símbolos (podem ser os algarismos 0 e 1), apesar de repeti-los muitas vezes, mesmo para representar "números pequenos".
Esse fato é compensado pela enorme velocidade com que operam as modernas máquinas eletrônicas, denominadas "seres", que posuem somente dois dedos, porém com tanto "cérebro" que resolvem em poucos instantes o que os homens levariam anos e anos para concluir!
Vamos escrever de 0 até 5 na base dois

Tomam-se como algarismos do número procurado, os restos das divisões e o último quociente, escrevendo-os na ordem inversa daquela que foram obtidos:

0₁₀ = 0₂
1₁₀ = 1₂

2₁₀ = 10₂         
2 ÷ 2 = 1                                    resto    0 →2º
                      1 menor que 2, logo:      1 → 1º

3₁₀ = 11₂         
3 ÷ 2 = 1                                     resto    1 →2º
                      1 menor que 2, logo:      1 → 1º

4₁₀ = 100₂         
4 ÷ 2 = 2                                  resto      0 →3º
2 ÷ 2 = 1                                    resto     0→ 2º
                        1 menor que 2, logo:     1 →1º

5₁₀ = 101₂         5 ÷ 2 = 2      resto      1 → 3º
                             2 ÷ 2 = 1        resto     0 → 2º
                        1 menor que 2, logo:       1 → 1º