Matrizes

Eu lembro as tardes louras caindo nos seus olhos azuis,
E quando a noite chegava nossas mãos se afastavam lentamente como um elástico sendo tencionado.
Eu nunca adormeci nos seus braços, mas, muitas vezes, nós sonhamos juntos sonhos eternos.
Quando o elástico se rompeu senti os jardins secarem em minhas mãos.
Eu não consegui conservar nenhuma flor em nenhum vaso, mas eu tenho os gestos, as palavras, os lábios rosados guardados como pétalas na alma.
Ontem choveu e eu ainda vi a chuva escorrendo pelos seus cabelos.
Agora eu preciso soltar as suas mãos que a noite se aproxima.

Lembrança azul
Eu lembro as tardes louras caindo nos seus olhos azuis,
E quando a noite chegava nossas mãos se afastavam lentamente como um elástico sendo tencionado.
Eu nunca adormeci nos seus braços, mas, muitas vezes, nós sonhamos juntos sonhos eternos.
Quando o elástico se rompeu senti os jardins secarem em minhas mãos.
Eu não consegui conservar nenhuma flor em nenhum vaso, mas eu tenho os gestos, as palavras, os lábios rosados guardados como pétalas na alma.
Ontem choveu e eu ainda vi a chuva escorrendo pelos seus cabelos.
Agora eu preciso soltar as suas mãos que a noite se aproxima.

J.L.L

Jorge. Este é o texto do Exemplo

MATEMÁTICA

Caderno de estudante

Progressões Geométricas (P.G)

É uma sequência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante (chamada razão).
 
P.G. (a₁, a₂, a₃, a₄, ..., a_n, ...)
   
a ₂ = a₁ ∗ q
 

Cálculo do termo geral da P.G.

 
a _n = a₁ ∗ q^{n − 1}
   
Onde:
   
a_n = termo qualquer
   
n = número de termos
   
a₁ = primeiro termo
   
q = razão
   
Exemplos:   
1)            
2)           
3)           
4)   
   
Exercícios de exemplificação

1. 1) Calcule o sexto termo da   PG (3, 6, 12, ...)
   Dados;       a₆ = ?      a₁ = 3      q = 6 ÷ 3 = 2
   
   • a₆ = a₁ ∗ q⁵     →     a₆ = 3 ∗ 2⁵     →     a₆ = 3 ∗ 32     →     a_{6 = 96}
   
    
   
2. 2) Determine o 1° termo de uma PG em que a₄ = 40   e   q = 2 Dados:       a₁ = ?       a₄ = 40     q = 2
   
   • a₄ = a₁ ∗ q ³     →     40 = a₁ ∗ 2³     →
     40 = a₁ ∗ 8     →     a₁ = 40 ÷ 8     →     a₁ = 5

 

3. 3) Numa PG, temos a₅ = 64 e a₁ = 4. Deternime a razão e escreva a PG.
   Dados:       a₅ = 64       a₁ = 4     q = ?
   
   • a₅ = a₁ ∗ q⁴     →    64 = 4 ∗ q⁴     →    
     64 ÷ 4 = q⁴     →     q⁴ = 16     →     q⁴ = 2⁴    →
     ⁴√ _q⁴ = ⁴√_2⁴     →     q = ± 2
     Se q = 2   →  PG = (4, 8, 16, 32, 64,...)
     Se q = − 2   →   PG = (4, −8, 16, −32, 64, ...)
   
    
   
4. 4) Quantos termos possui a PG onde a₁ = 6, a_n = 384 e q = 2 Dados:       n = ?       a₁ = 6       a_n = 384       q = 2
   
   • a_n = a₁ ∗ q^{n − 1}     →     384 = 6 ∗ 2^{n − 1     →     384 ÷ 6 = 2n − 1     →     64 = 2n − 1   (decompondo o 64, vem):   →   26 = 2 n − 2   (então elina-se as bases e trabalha-se com os expoentes)   →   6 = n − 1     →     6 + 1 = n     →     n = 7}
   
    
   
5. 5) Calcular a razão e o primeiro termo de uma PG onde a₅= 32 e a₈ = 256.
   Dados       q = ?       a₁ ?       a₅ = 32       a₈ = 256
   Solução:     Associando {a₅ , a₆, a₇, a₈}
                                         {a₁, a₂, a₃, a₄} vem,
   • a₄ = a₁ ∗ q³     →     256 = 32 ∗ q³     →     256 ÷ 32 = q³     →     8 =q³     →     2³ = q³     →     ³√_2³ = ³√_q³     →    
     q = 2

   • Continuando    →    a₅ = a₁ ∗ q ⁴     →   32 = a₁ ∗ 2⁴     →     32 = a₁ ∗ 16     →      32 ÷ 16 = a ₁     →    a₁ = 2

   
      
   
6. Calcular o décimo termo da PG (1 ⁄ 8,   1 ⁄ 4,   1 ⁄ 2, ...)
   Dados     a₁₀ = ?     a₁ = 1 ⁄ 8
   • a₂ = a₁ ∗ q     →     a₂ ÷ a₁ = q     →     q = 1 ⁄ 4 ÷ 1 ⁄ 8     →     q = 1 ⁄ 4 ∗ 8 ⁄ 1     →    
     q = 2
     • a₁₀ = a₁ ∗ q⁹     →     a₁₀ = 1 ⁄ 8 ∗ 2⁹     →     a₁₀ = 1 ⁄ 8 ∗ 512     →     a₁₀ = 512 ÷ 8     →     a₁₀ = 64
   
      
   
7. Calcule o sétimo termo da PG (5, 10, 20, ...)
   Dados     a₇ = ?     a₁ = 5     q = 10 ÷ 5 = 2
   
   • a₇ = a₁ ∗ q⁶     →     a₇ = 5 ∗ 2⁶     →     a₇ = 5 ∗ 64     →     a₇ = 320
   
      
   
8. Determine o oitavo termo da PG (-3, 6, -12, ...).
   Dados     a₈ = ?     a₁ = −3     q = 6 ÷ −3 = −2
   
   • a₈ = a₁ ∗ q⁷     →     a₈ = − 3 ∗ (− 2)⁷ (base negativa é obrigado usar parenteses)     →     a₈ = −3 ∗ − 128     →     a₈ = 384
   
      
   
9. Determine o nono termo da PG (1 ⁄ 64, 1 ⁄ 32, 1 ⁄ 16,...)
   Dados     a₉ = ?     a₁ = 1 ⁄ 64     q = 1 ⁄ 32 ÷ 1 ⁄ 64
                                                      q = 1 ⁄ 32 ∗ 64 ⁄ 1
                                                      q = 64 ÷ 32
                                                      q = 2
   
   • a₉ = a₁ ∗ q⁸     →     a₉ = 1 ⁄ 64 ∗ 2⁸     →     a₉ = 1 ⁄ 64 ∗ 256 ⁄ 1     →     a₉ = 256 ÷ 64     →     a₉ = 4
   
      
   
10. Na PG onde a₅ = 162 e q = −3, calcule a₁ e a₇
    Dados     a₅ = 162     q = − 3     a₁ = ?     a₇ = ?
    
    • a₅ = a₁ ∗ q⁴    →    162 = a₁ ∗ (−3)⁴     →     162 = a₁ ∗ 81     →    
      162 ÷ 81 = a₁     →     a₁ = 2
      
      • a₇ = a₁ ∗q⁶     →     a₇ = 2 ∗ (−3)⁶     →     a₇ = 2 ∗ 729     →     a₇ = 1458
    
       
    
11. Numa PG de quatro termos, o primeiro termo é −4 e a razão é 3. Determine o último termo dessa PG.
    Dados     n = 4     a₁ = − 4     q = 3     a_n = ? = a₄
    
    • a_n = a₁ ∗ q^{(n − 1)}     →    a₄ = − 4 ∗ 3^{(4 − 1)}     →     a₄ = −4 ∗ 3³     →     a₄ = −4 ∗ 27     → a₄ = − 108
    
       
    
12. Qual o sexto termo de uma Pg de razão igual a 1 ⁄ 2 e o primeiro termo igual a 4.
    Dados     a₆= ?     q = 1 ⁄ 2     a₁ = 4
    
    • a₆ = a₁ ∗ q⁵     →     a₆ = 4 ∗ (1 ⁄ 2)⁵(Quando a razão for uma fração usa-se parênteses, pois ambos, numerador e denominador devem ser elevados à potência)     →    
      a₆ = 4 ∗ 1 ÷ 32     →     a₆ = 4 ÷ 32 (Simplificando, temos)    →     a₆ = 1 ⁄ 8
    
       
    
13. Calcule o primeiro termo e o terceiro termo de uma PG onde a₆ = 1 ⁄ 9 e q = 1 ⁄ 3
    Dados     a₁ = ?     a₃ = ?     a₆ = 1 ⁄ 9     q = 1 ⁄ 3
    
    • a₆ = a₁ ∗ q⁵     →     1 ⁄ 9 = a₁ ∗ (1 ⁄ 3)⁵     →     1 ⁄ 9 = a₁ ∗ (1 ⁄ 3)⁵     →    
      1 ⁄ 9 = a₁ ∗ 1 ⁄ 243     →     1 ⁄ 9 ÷ 1 ⁄ 243 = a₁     →     1 ⁄ 9 ∗ 243 ⁄ 1 = a₁     →     243 ÷ 9 = a₁     →     a₁ = 27
      
      • a₃ = a₁ ∗ q²     →     a₃ = 27 ∗ (1 ⁄ 3)²   →   a₃ = 27 ⁄ 1 ∗ 1 ⁄9 →     a₃ = 27 ÷ 9     →     a₃ = 3
    
       
    
14. Calcule a razão da PG, sabendo-se que a₅ =405, a₁ = 5 e escreva a progressão.
    Dados     q = ?     a₅ = 405   a₁ = 5
    
    • a₅ = a₁ ∗ q⁴    →     405 = 5 ∗ q⁴     →     405 ÷ 5 = q⁴     →     81 = q⁴ (Decompondo 81, vem):     →    
      q⁴ = 3 ⁴     →     ⁴√q⁴ = ⁴√3 ⁴     →     q = ± 3
             
      Se q = + 3    P.G. (5, 15, 45, 135, 405,..)
      Se q = − 3    P.G. (5, −15, 45, −135, 405,..)
    
       
    
15. Sabendo-se que a₁ = 2 e a₄ = 250, calcule a razão e escreva a PG.
    Dados     A₁ = 2     a₄ = 250     q = ?
    
    • a₄ = a₁ ∗ q³     →     250 = 2 ∗ q³     →     250 ÷ 2 = q³     →     125 = q³ (Decompondo 125, vem):     →     q³ = 5 ³     →     ³√q³ = ³ √5³(se o índice da raiz for impar ele só aceita q(+), se for par aceita ( + ) e (− )     →     q = 5
         
      Se q = 5     PG.(2, 10, 50, 250,..)
      Se q = −5   Não aceita a razão (−)     PG. (2, −10, 50, −250,...)
    
       
    
16. Numa PG, dados a₁ = 2,   q = 5   e  a_n = 1250,   calcule "n".
    Dados     a₁ = 2     q = 5     a_n = 1250     n = ?
    
    • a_n = a₁ ∗ q⁽ⁿ⁻¹⁾     →     1250 = 2 ∗ 5⁽ⁿ⁻¹⁾    →     1250 ÷ 2 = 5⁽ⁿ⁻¹⁾    →     625 = 5^{(n− 1)}   (Decompondo 625, vem):    →     5⁴ = 5⁽ⁿ⁻¹⁾ (Elimina-se as bases iguais e trabalha-se com os expoentes).    →     4 = n − 1     →    
      4 + 1 = n     →     n = 5
    
       
    
17. Qual o número de termos da PG onde a₁ = 6,   a_n = 192   e   q = 2
    Dados     n = ?     a₁ = 6     a_n = 192     q = 2
    
    • a_n = a₁ ∗ q⁽ⁿ⁻¹⁾     →     192 = 6 ∗ 2⁽ⁿ⁻¹⁾     →     192 ÷ 6 = 2⁽ⁿ⁻¹⁾     →     32 = 2⁽ⁿ⁻¹⁾   (Decompondo o 32, vem):    →     2⁵ = 2⁽ⁿ⁻¹⁾ (Elimina-se as bases e trabalha-se com os expoentes).     →     5 = n − 1     →     5 + 1 = n →     n = 6
    
       
    
18. Numa PG temos a₂ = 6  e   a₇ = 192. Pede-se q,   a₁   e a₅.
    Dados     a₂ = 6     a₇ = 192     q = ?     a₁ = ?     a₅ = ?
    Solução:     Associando {a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇}
                                           {6,                       192,}
                                           {a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆,} vem,
    
    • a₆ = a₁ ∗ q^{(6− 1)}    →     192 = 6 ∗ q ⁵     →     192 ÷ 6 = q⁵     →    
      32 = q⁵   (Decompondo o 32, temos):     →     2⁵ = q⁵(Eliminando-se os expontes, temos):     →     q = 2
      
      • a₇ = a₁ ∗ q⁽⁷⁻¹⁾     →     192 = a₁ ∗ 2⁶     →     192 = a₁ ∗ 64     →     192 ÷ 64 = a₁     →     a₁ = 3
        
        • a₅ = a₁ ∗ q⁽⁵⁻¹⁾     →     a₅ = 3 ∗ 2⁴     →    
          a₅ = 3 ∗ 16     →     a₅ = 48

   
RAZÃO - EXERCÍCIOS

19. Determine a razão de cada P.G.
 
1. (3, 6, 12, 24)
   • q = 6 ÷ 3   →   q = 2
    
2. (2, −6, 18, −54,...)
   • q = 18 ÷ −6   →   q = −3
    
3. (20, 10, 5, 5 ⁄ 2,...)
   • q = 5^÷5 ÷ 10^÷5   →   q = 1 ⁄2
    
4. (1, −2, 4, −8, 16)
   • q = 2 ÷ 1   →   q = −2
    
5. (1, −5, −20, −80,..)
   • q = (−20) ÷ (−5)   →   q = 4
    
6. (−1, 5, −25, 125, −625)
   • q = −25 ÷ 5   →   q = −5
 
20. Calcule a razão de cada P.G. e complete.
     
    
    1. (2, 4,...,..., 32)
       • Razão → q = 4 ÷ 2   →   q = 2
       • P.G. completa → (2, 4, 8, 16, 32)
          
    2. (−5, 10,..., 40,...)
       • Razão → q = 10 ÷ −5   →   q = −2
       • P.G. completa → (−5, 10, −20, 40 −80, 32)
          
    3. (27, 9,...,..., 1⁄3,...)
       • Razão → q = 9^÷9 ÷ 27 ^÷9   →   q = 1⁄3
       • P.G. completa → (27, 9, 3, 1, 1⁄3, 1⁄9)
          
    4. (−1, −4, ..., ..., ...)
       • Razão → q = −4 ÷ −1   →   q = 4
       • P.G. completa → (−1, −4, −16, −64, −256)
          
    5. (8, −32, ..., −512, ...)
       • Razão → q = −32 ÷ 8   →   q = −4
       • P.G. completa → (8, −32, 128, −512, 2018,)
          
    6. (12, 72, ..., ...)
       • Razão → q = 72 ÷ 12   →   q = 6
       • P.G. completa → (12, 72, 432, 2592)