MATEMÁTICA

Caderno de estudante

Progressões Geométricas (P.G)

É uma sequência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante (chamada razão).
 
P.G. (a₁, a₂, a₃, a₄, ..., a_n, ...)
   
a ₂ = a₁ ∗ q
 

Cálculo do termo geral da P.G.

 
a _n = a₁ ∗ q^{n − 1}
   
Onde:
   
a_n = termo qualquer
   
n = número de termos
   
a₁ = primeiro termo
   
q = razão
   
Exemplos:   
1)            
2)           
3)           
4)   
   
Exercícios de exemplificação

1. 1) Calcule o sexto termo da   PG (3, 6, 12, ...)
   Dados;       a₆ = ?      a₁ = 3      q = 6 ÷ 3 = 2
   
   • a₆ = a₁ ∗ q⁵     →     a₆ = 3 ∗ 2⁵     →     a₆ = 3 ∗ 32     →     a_{6 = 96}
   
    
   
2. 2) Determine o 1° termo de uma PG em que a₄ = 40   e   q = 2 Dados:       a₁ = ?       a₄ = 40     q = 2
   
   • a₄ = a₁ ∗ q ³     →     40 = a₁ ∗ 2³     →
     40 = a₁ ∗ 8     →     a₁ = 40 ÷ 8     →     a₁ = 5

 

3. 3) Numa PG, temos a₅ = 64 e a₁ = 4. Deternime a razão e escreva a PG.
   Dados:       a₅ = 64       a₁ = 4     q = ?
   
   • a₅ = a₁ ∗ q⁴     →    64 = 4 ∗ q⁴     →    
     64 ÷ 4 = q⁴     →     q⁴ = 16     →     q⁴ = 2⁴    →
     ⁴√ _q⁴ = ⁴√_2⁴     →     q = ± 2
     Se q = 2   →  PG = (4, 8, 16, 32, 64,...)
     Se q = − 2   →   PG = (4, −8, 16, −32, 64, ...)
   
    
   
4. 4) Quantos termos possui a PG onde a₁ = 6, a_n = 384 e q = 2 Dados:       n = ?       a₁ = 6       a_n = 384       q = 2
   
   • a_n = a₁ ∗ q^{n − 1}     →     384 = 6 ∗ 2^{n − 1     →     384 ÷ 6 = 2n − 1     →     64 = 2n − 1   (decompondo o 64, vem):   →   26 = 2 n − 2   (então elina-se as bases e trabalha-se com os expoentes)   →   6 = n − 1     →     6 + 1 = n     →     n = 7}
   
    
   
5. 5) Calcular a razão e o primeiro termo de uma PG onde a₅= 32 e a₈ = 256.
   Dados       q = ?       a₁ ?       a₅ = 32       a₈ = 256
   Solução:     Associando {a₅ , a₆, a₇, a₈}
                                         {a₁, a₂, a₃, a₄} vem,
   • a₄ = a₁ ∗ q³     →     256 = 32 ∗ q³     →     256 ÷ 32 = q³     →     8 =q³     →     2³ = q³     →     ³√_2³ = ³√_q³     →    
     q = 2

   • Continuando    →    a₅ = a₁ ∗ q ⁴     →   32 = a₁ ∗ 2⁴     →     32 = a₁ ∗ 16     →      32 ÷ 16 = a ₁     →    a₁ = 2

   
      
   
6. Calcular o décimo termo da PG (1 ⁄ 8,   1 ⁄ 4,   1 ⁄ 2, ...)
   Dados     a₁₀ = ?     a₁ = 1 ⁄ 8
   • a₂ = a₁ ∗ q     →     a₂ ÷ a₁ = q     →     q = 1 ⁄ 4 ÷ 1 ⁄ 8     →     q = 1 ⁄ 4 ∗ 8 ⁄ 1     →    
     q = 2
     • a₁₀ = a₁ ∗ q⁹     →     a₁₀ = 1 ⁄ 8 ∗ 2⁹     →     a₁₀ = 1 ⁄ 8 ∗ 512     →     a₁₀ = 512 ÷ 8     →     a₁₀ = 64
   
      
   
7. Calcule o sétimo termo da PG (5, 10, 20, ...)
   Dados     a₇ = ?     a₁ = 5     q = 10 ÷ 5 = 2
   
   • a₇ = a₁ ∗ q⁶     →     a₇ = 5 ∗ 2⁶     →     a₇ = 5 ∗ 64     →     a₇ = 320
   
      
   
8. Determine o oitavo termo da PG (-3, 6, -12, ...).
   Dados     a₈ = ?     a₁ = −3     q = 6 ÷ −3 = −2
   
   • a₈ = a₁ ∗ q⁷     →     a₈ = − 3 ∗ (− 2)⁷ (base negativa é obrigado usar parenteses)     →     a₈ = −3 ∗ − 128     →     a₈ = 384
   
      
   
9. Determine o nono termo da PG (1 ⁄ 64, 1 ⁄ 32, 1 ⁄ 16,...)
   Dados     a₉ = ?     a₁ = 1 ⁄ 64     q = 1 ⁄ 32 ÷ 1 ⁄ 64
                                                      q = 1 ⁄ 32 ∗ 64 ⁄ 1
                                                      q = 64 ÷ 32
                                                      q = 2
   
   • a₉ = a₁ ∗ q⁸     →     a₉ = 1 ⁄ 64 ∗ 2⁸     →     a₉ = 1 ⁄ 64 ∗ 256 ⁄ 1     →     a₉ = 256 ÷ 64     →     a₉ = 4
   
      
   
10. Na PG onde a₅ = 162 e q = −3, calcule a₁ e a₇
    Dados     a₅ = 162     q = − 3     a₁ = ?     a₇ = ?
    
    • a₅ = a₁ ∗ q⁴    →    162 = a₁ ∗ (−3)⁴     →     162 = a₁ ∗ 81     →    
      162 ÷ 81 = a₁     →     a₁ = 2
      
      • a₇ = a₁ ∗q⁶     →     a₇ = 2 ∗ (−3)⁶     →     a₇ = 2 ∗ 729     →     a₇ = 1458
    
       
    
11. Numa PG de quatro termos, o primeiro termo é −4 e a razão é 3. Determine o último termo dessa PG.
    Dados     n = 4     a₁ = − 4     q = 3     a_n = ? = a₄
    
    • a_n = a₁ ∗ q^{(n − 1)}     →    a₄ = − 4 ∗ 3^{(4 − 1)}     →     a₄ = −4 ∗ 3³     →     a₄ = −4 ∗ 27     → a₄ = − 108
    
       
    
12. Qual o sexto termo de uma Pg de razão igual a 1 ⁄ 2 e o primeiro termo igual a 4.
    Dados     a₆= ?     q = 1 ⁄ 2     a₁ = 4
    
    • a₆ = a₁ ∗ q⁵     →     a₆ = 4 ∗ (1 ⁄ 2)⁵(Quando a razão for uma fração usa-se parênteses, pois ambos, numerador e denominador devem ser elevados à potência)     →    
      a₆ = 4 ∗ 1 ÷ 32     →     a₆ = 4 ÷ 32 (Simplificando, temos)    →     a₆ = 1 ⁄ 8
    
       
    
13. Calcule o primeiro termo e o terceiro termo de uma PG onde a₆ = 1 ⁄ 9 e q = 1 ⁄ 3
    Dados     a₁ = ?     a₃ = ?     a₆ = 1 ⁄ 9     q = 1 ⁄ 3
    
    • a₆ = a₁ ∗ q⁵     →     1 ⁄ 9 = a₁ ∗ (1 ⁄ 3)⁵     →     1 ⁄ 9 = a₁ ∗ (1 ⁄ 3)⁵     →    
      1 ⁄ 9 = a₁ ∗ 1 ⁄ 243     →     1 ⁄ 9 ÷ 1 ⁄ 243 = a₁     →     1 ⁄ 9 ∗ 243 ⁄ 1 = a₁     →     243 ÷ 9 = a₁     →     a₁ = 27
      
      • a₃ = a₁ ∗ q²     →     a₃ = 27 ∗ (1 ⁄ 3)²   →   a₃ = 27 ⁄ 1 ∗ 1 ⁄9 →     a₃ = 27 ÷ 9     →     a₃ = 3
    
       
    
14. Calcule a razão da PG, sabendo-se que a₅ =405, a₁ = 5 e escreva a progressão.
    Dados     q = ?     a₅ = 405   a₁ = 5
    
    • a₅ = a₁ ∗ q⁴    →     405 = 5 ∗ q⁴     →     405 ÷ 5 = q⁴     →     81 = q⁴ (Decompondo 81, vem):     →    
      q⁴ = 3 ⁴     →     ⁴√q⁴ = ⁴√3 ⁴     →     q = ± 3
             
      Se q = + 3    P.G. (5, 15, 45, 135, 405,..)
      Se q = − 3    P.G. (5, −15, 45, −135, 405,..)
    
       
    
15. Sabendo-se que a₁ = 2 e a₄ = 250, calcule a razão e escreva a PG.
    Dados     A₁ = 2     a₄ = 250     q = ?
    
    • a₄ = a₁ ∗ q³     →     250 = 2 ∗ q³     →     250 ÷ 2 = q³     →     125 = q³ (Decompondo 125, vem):     →     q³ = 5 ³     →     ³√q³ = ³ √5³(se o índice da raiz for impar ele só aceita q(+), se for par aceita ( + ) e (− )     →     q = 5
         
      Se q = 5     PG.(2, 10, 50, 250,..)
      Se q = −5   Não aceita a razão (−)     PG. (2, −10, 50, −250,...)
    
       
    
16. Numa PG, dados a₁ = 2,   q = 5   e  a_n = 1250,   calcule "n".
    Dados     a₁ = 2     q = 5     a_n = 1250     n = ?
    
    • a_n = a₁ ∗ q⁽ⁿ⁻¹⁾     →     1250 = 2 ∗ 5⁽ⁿ⁻¹⁾    →     1250 ÷ 2 = 5⁽ⁿ⁻¹⁾    →     625 = 5^{(n− 1)}   (Decompondo 625, vem):    →     5⁴ = 5⁽ⁿ⁻¹⁾ (Elimina-se as bases iguais e trabalha-se com os expoentes).    →     4 = n − 1     →    
      4 + 1 = n     →     n = 5
    
       
    
17. Qual o número de termos da PG onde a₁ = 6,   a_n = 192   e   q = 2
    Dados     n = ?     a₁ = 6     a_n = 192     q = 2
    
    • a_n = a₁ ∗ q⁽ⁿ⁻¹⁾     →     192 = 6 ∗ 2⁽ⁿ⁻¹⁾     →     192 ÷ 6 = 2⁽ⁿ⁻¹⁾     →     32 = 2⁽ⁿ⁻¹⁾   (Decompondo o 32, vem):    →     2⁵ = 2⁽ⁿ⁻¹⁾ (Elimina-se as bases e trabalha-se com os expoentes).     →     5 = n − 1     →     5 + 1 = n →     n = 6
    
       
    
18. Numa PG temos a₂ = 6  e   a₇ = 192. Pede-se q,   a₁   e a₅.
    Dados     a₂ = 6     a₇ = 192     q = ?     a₁ = ?     a₅ = ?
    Solução:     Associando {a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇}
                                           {6,                       192,}
                                           {a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆,} vem,
    
    • a₆ = a₁ ∗ q^{(6− 1)}    →     192 = 6 ∗ q ⁵     →     192 ÷ 6 = q⁵     →    
      32 = q⁵   (Decompondo o 32, temos):     →     2⁵ = q⁵(Eliminando-se os expontes, temos):     →     q = 2
      
      • a₇ = a₁ ∗ q⁽⁷⁻¹⁾     →     192 = a₁ ∗ 2⁶     →     192 = a₁ ∗ 64     →     192 ÷ 64 = a₁     →     a₁ = 3
        
        • a₅ = a₁ ∗ q⁽⁵⁻¹⁾     →     a₅ = 3 ∗ 2⁴     →    
          a₅ = 3 ∗ 16     →     a₅ = 48

   
RAZÃO - EXERCÍCIOS

19. Determine a razão de cada P.G.
 
1. (3, 6, 12, 24)
   • q = 6 ÷ 3   →   q = 2
    
2. (2, −6, 18, −54,...)
   • q = 18 ÷ −6   →   q = −3
    
3. (20, 10, 5, 5 ⁄ 2,...)
   • q = 5^÷5 ÷ 10^÷5   →   q = 1 ⁄2
    
4. (1, −2, 4, −8, 16)
   • q = 2 ÷ 1   →   q = −2
    
5. (1, −5, −20, −80,..)
   • q = (−20) ÷ (−5)   →   q = 4
    
6. (−1, 5, −25, 125, −625)
   • q = −25 ÷ 5   →   q = −5
 
20. Calcule a razão de cada P.G. e complete.
     
    
    1. (2, 4,...,..., 32)
       • Razão → q = 4 ÷ 2   →   q = 2
       • P.G. completa → (2, 4, 8, 16, 32)
          
    2. (−5, 10,..., 40,...)
       • Razão → q = 10 ÷ −5   →   q = −2
       • P.G. completa → (−5, 10, −20, 40 −80, 32)
          
    3. (27, 9,...,..., 1⁄3,...)
       • Razão → q = 9^÷9 ÷ 27 ^÷9   →   q = 1⁄3
       • P.G. completa → (27, 9, 3, 1, 1⁄3, 1⁄9)
          
    4. (−1, −4, ..., ..., ...)
       • Razão → q = −4 ÷ −1   →   q = 4
       • P.G. completa → (−1, −4, −16, −64, −256)
          
    5. (8, −32, ..., −512, ...)
       • Razão → q = −32 ÷ 8   →   q = −4
       • P.G. completa → (8, −32, 128, −512, 2018,)
          
    6. (12, 72, ..., ...)
       • Razão → q = 72 ÷ 12   →   q = 6
       • P.G. completa → (12, 72, 432, 2592)