Matemática

Múltiplos e Divisores.

Múltiplos

Para se obter múltiplos de um número a, multiplica-se a por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...

Simbólicamente os mútiplos de a são representados assim: Ma
Ma→ lê-se "múltiplos de a"

Sendo a igual a 5, os múltiplos de 5 serão representados por: M5
M5→ lê-se "múltiplos de 5"

Para se obter múltiplos de 5, multiplica-se 5 por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ..., isto é:

5 ⋅ 0 = 0 → 0 é múltiplo de 5

5 ⋅ 1 = 5 → 5 é múltiplo de 5

5 ⋅ 2 = 10 → 10 é múltiplo de 5

5 ⋅ 3 = 15 → 15 é múltiplo de 5 e assim por diante.

Os mútiplos de 5 formam um conjunto infinito, que pode ser representado deste modo:

Divisores
De um modo geral, o conjunto dos divisores de um número a
(a ≠ 0), é o conjunto formado por todos aqueles números que o dividem exatamente.

A representação simbólica de a pode ser assim: Da

Sendo a = 6 os divisores de 6 serão representados por: D6 (divisores de 6).
Veja como se obtém os divisores de 6:

6 ÷ 1 = 6 → 1 é divisor de 6

6 ÷ 2 = 3 → 2 é divisor de 6

6 ÷ 3 = 2 → 3 é divisor de 6

6 ÷ 6 = 1 → 1 é divisor de 6 ☡ (cuidado) Zero não é divisor de 6 e de nenhum outro número qualquer.

Os divisores de 6 formam um conjunto finito que pode ser representado deste modo:

Critérios de divisibilidade
No sistema de numeração decimal, utilizamos regras especiais para saber se um número é ou não divisível por outro, sem fazer a divisão. Essas regras baseiam-se em principios gerais da divisibilidade.
Analise o que segue.

Um número é divisível por:

2	Quando for par, isto é, quando seu último algarismo for 0, 2, 4, 6, 8.
3	Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível or 3. 126 é divisível por 3, pois 1 + 2 + 6 = 9   e   9 ÷ 3 = 3
4	Quando os dois últimos algarismos forem 00 ou formarem um número divisível por 4. 500 é divisível por 4; os dois últimos algarismos são 00. 232 é divisível por 4; os dois últimos algarismos formam o número 32, que é divisível por 4.
5	Quando o último algarismo for zero ou 5, isto é, quando terninar em 0 ou 5.
6	Quando for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo. 108 é divisível por 2, pois é par. Mas é também por 3: 1 + 0 + 8 = 9 e 9 é divisível por 3. Portanto, 108 é divisível por 6.
9	Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9. 207 é divisível por 9;   2 + 0 + 7 = 9  e  9 ÷ 9 = 1
10	Quando o algarismo das unidades for zero, isto é, quando termina em zero.

Determinação dos divisores de um número.
Na decomposição de 60 em fatores primos, temos:
60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5
Os divisores de 60 são
d(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Um total de 12 divisores.

Existe uma maneira prática de determinar quantos e quais os divisores de um número dado.

		1
60	2	2
30	2	4
15	3	3	6	12
5	5	5	10	20	15	30	60
1

À direita da coluna dos fatores primos(coluna cinza), começamos marcando o número 1 e cada novo elemento é obtido multiplicando o fator (números da coluna cinza) pelos resultados (números em vermelho).

O total de divisores é obtido adicionando-se a unidade, a cada expoente obtido na decomposição e efetuando a multiplicação. No caso:
60 = 2² x 3 x 5, temos (2 + 1) x (1 + 1) x (1 + 1) = 12 divisores.