Matemática

Equação exponencial

Uma equação é exponencial quando a incógnita está no expoente.

Assim, 2^x = 32 ou 3^x-2 = 27 são exemplos de equação exponencial.

Para resolver equações desse tipo, devemos transformá-las numa igualdade. A partir de bases iguais, devemos igualar os expoentes e, então, determinar o valor da variável :
a^f(x) = a^g(x)→ f(x) = g(x), com a ∈ R_{∗ +}     e a ≠ 1

Exercícios resolvidos

1) Resolva as equações exponenciais a seguir:

a) 2^x = 128
b) 3^x = 1 ⁄ 81
c) 8^x+1 = 4^x+2

Solução:
a) 2^x = 128
Primeiro decompomos o 128 em fatores primos •

128	2
64	2
32	2
16	2
8	2
4	2
2	2
0	27 = 128

a) 2^x = 128 → 2^x= 2⁷ → x = 7

b) 3^x = 1 ⁄ 81

Solução

b) 3^x = 1 ⁄ 81 → 3^x = 1 ⁄ 3⁴→ 3^x = 3^-4
→ x = -4

Detalhando: Na primeira parte da equação "b" temos
3^x = 1 ⁄ 81, na segunda parte
temos 3^x = 1 ⁄ 3⁴, então 81 se transformou em 3⁴, como?

Explicando: Decompondo 81 em fatores primos, como fizemos com o 128 no exercício "a", encontramos 3⁴, ficando assim a equação:
3^x =1 ⁄ 81 = 1 ⁄ 3⁴ = 3^-4 → x = -4

Agora 1 ⁄ 3⁴ se transformou em 3^-4, Como?
Explicando:

(1 ⁄ 3)⁴ = (3 ⁄ 1)^-4 = 3^-4     (Podemos trocar o sinal do expoente
se, simultaneamente, invertermos a base).

3^x = 1 ⁄ 81 → 3^x = 1 ⁄ 3⁴ →
3^x = 3^-4 → x = -4

c) 8^x+1 = 4 ^x+2

Solução

c) 8^x+1 = 4 ^x+2 → (2³)^x+1 = (2²)^x+2→ 2^3x+3 = 2^2x+4 →
3x + 3 = 2x + 4→x = 1
Detalhando 8^x+1 =(decompondo o 8 temos,) (2³)^x+1 (multiplicando 3 por x+1(expoentes de 2)) temos, 2^3x+3
Detalhando 4^x+2 = (decompondo o 4 temos,) (2²)^x+2 (multiplicando 2 por x+2 (expoentes de 2)) temos, 2^2x+4

Então, com as bases igualadas trabalhamos só com os expoentes:

3x + 3 = 2x + 4 →
3x - 2x = 4 - 3 →
x = 1

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