MATEMÁTICA

MENOR MÚLTIPLO COMUM

a) Operação:Minimação
Já vimos a determinação de mútiplos de qualquer número natural. Vimos que os múltiplos de 2 são:
M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}

Vimos que os múltiplos de 3 são:
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ...}
Se compararmos os dois conjuntos e excluírmos o elemento zero teremos:
A= {2, 4, , 8, 10, , 14, ...} e
B = {3, , 9, , 15, 18, 21, 24, ...}
Como vemos A ∩ B = {6, 12, , ...}, onde este conjunto A ∩ B é o conjunto intersecção dos múltiplos comuns de 2 e de 3. Destes múltiplos comuns existe um que é o menor de todos, que passa a ser chamado de MENOR MÚLTIPLO COMUM
Representamos assim:
M.M.C. (2, 3) = 6 que se lê: o menor múltiplo comum de 2 e 3 é 6.
A operação para determinação do M.M.C. de dois ou mais números é a MINIMAÇÃO.

A= {2, 4, , 8, 10, , 14, ...} e
B = {3, , 9, , 15, 18, 21, 24, ...}
Como vemos A ∩ B = {6, 12, , ...}, onde este conjunto A ∩ B é o conjunto intersecção dos múltiplos comuns de 2 e de 3. Destes múltiplos comuns existe um que é o menor de todos, que passa a ser chamado de MENOR MÚLTIPLO COMUM
Representamos assim:
M.M.C. (2, 3) = 6 que se lê: o menor múltiplo comum de 2 e 3 é 6.
A operação para determinação do M.M.C. de dois ou mais números é a MINIMAÇÃO.

b) Determinação do M.M.C.
O processo da determinação do menor múltiplo comum de dois ou mais números, é análogo ao processo da determinação do maior divisor comum. Devemos decompor em produto de fatores primos cada número dado. O M.M.C. resultará do produto de todos os fatores primos encontrados, comuns e não comuns, tomados sempre com os maiores expoentes encontrados na fatoração.

Exemplos

Detrminar o M.M.C. dos números 24 e 30
24	2	...	30	2
12	2	...	15	3
06	2	...	05	5
03	3	...	1	2 ⋅ 3 ⋅ 5
01	23 ⋅ 3	...	. . .	. . . . .
M.M.C. (24, 30) = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120

Detrminar o M.M.C. dos números 12, 18 e 20
12	2	...	18	2	...	20	2
06	2	...	09	3	...	10	2
03	3	...	03	3	...	05	5
01	22 ⋅ 3	...	01	2 ⋅ 32	...	01	22 ⋅ 5
M.M.C. (12, 18, 30) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180

Podemos determinar o M.M.C., decompondo em fatores primos, todos os números dados ao mesmo tempo.

Detrminar o M.M.C. dos números (8, 30 = ?
8	.	30	2
4	.	15	2
2	.	15	2
1	.	15	3
1	.	5	5
1	.	1	23 ⋅ 3 ⋅ 5
M.M.C. (8, 30) = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120