a) Operação:Minimação Já vimos a determinação de mútiplos de qualquer número natural. Vimos que os múltiplos de 2 são: M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}
Vimos que os múltiplos de 3 são: M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ...} Se compararmos os dois conjuntos e excluírmos o elemento zero teremos: A= {2, 4, , 8, 10, , 14, ...} e B = {3, , 9, , 15, 18, 21, 24, ...} Como vemos A ∩ B = {6, 12, , ...}, onde este conjunto A ∩ B é o conjunto intersecção dos múltiplos comuns de 2 e de 3. Destes múltiplos comuns existe um que é o menor de todos, que passa a ser chamado de MENOR MÚLTIPLO COMUM Representamos assim: M.M.C. (2, 3) = 6 que se lê: o menor múltiplo comum de 2 e 3 é 6. A operação para determinação do M.M.C. de dois ou mais números é a MINIMAÇÃO.A= {2, 4, , 8, 10, , 14, ...} e B = {3, , 9, , 15, 18, 21, 24, ...} Como vemos A ∩ B = {6, 12, , ...}, onde este conjunto A ∩ B é o conjunto intersecção dos múltiplos comuns de 2 e de 3. Destes múltiplos comuns existe um que é o menor de todos, que passa a ser chamado de MENOR MÚLTIPLO COMUM Representamos assim: M.M.C. (2, 3) = 6 que se lê: o menor múltiplo comum de 2 e 3 é 6. A operação para determinação do M.M.C. de dois ou mais números é a MINIMAÇÃO.b) Determinação do M.M.C. O processo da determinação do menor múltiplo comum de dois ou mais números, é análogo ao processo da determinação do maior divisor comum. Devemos decompor em produto de fatores primos cada número dado. O M.M.C. resultará do produto de todos os fatores primos encontrados, comuns e não comuns, tomados sempre com os maiores expoentes encontrados na fatoração.Exemplos
Detrminar o M.M.C. dos números 24 e 30
24
2
...
30
2
12
2
...
15
3
06
2
...
05
5
03
3
...
1
2 ⋅ 3 ⋅ 5
01
23 ⋅ 3
...
. . .
. . . . .
M.M.C. (24, 30) = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120
Detrminar o M.M.C. dos números 12, 18 e 20
12
2
...
18
2
...
20
2
06
2
...
09
3
...
10
2
03
3
...
03
3
...
05
5
01
22 ⋅ 3
...
01
2 ⋅ 32
...
01
22 ⋅ 5
M.M.C. (12, 18, 30) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180
Podemos determinar o M.M.C., decompondo em fatores primos, todos os números dados ao mesmo tempo.
Múltiplos
Para se obter múltiplos de um número a, multiplica-se a por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...Simbólicamente os mútiplos de a são representados assim: Ma Ma→ lê-se "múltiplos de a"Sendo a igual a 5, os múltiplos de 5 serão representados por: M5 M5→ lê-se "múltiplos de 5"Para se obter múltiplos de 5, multiplica-se 5 por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ..., isto é:
5 ⋅ 0 = 0 → 0 é múltiplo de 5
5 ⋅ 1 = 5 → 5 é múltiplo de 5
5 ⋅ 2 = 10 → 10 é múltiplo de 5
5 ⋅ 3 = 15 → 15 é múltiplo de 5
e assim por diante.
Os mútiplos de 5 formam um conjunto infinito , que pode ser representado deste modo:
Dvisores
De um modo geral, o conjunto dos divisores de um número a
(a ≠ 0), é o conjunto formado por todos aqueles números que o dividem exatamente.
A representação simbólica de a pode ser assim: DaSendo a = 6 os divisores de 6 serão representados por: D6 (divisores de 6).
Veja como se obtém os divisores de 6:
6 ÷ 1 = 6 → 1 é divisor de 6
6 ÷ 2 = 3 → 2 é divisor de 6
6 ÷ 3 = 2 → 3 é divisor de 6
6 ÷ 6 = 1 → 1 é divisor de 6
☡ (cuidado) Zero não é divisor de 6 e de nenhum outro número qualquer.Os divisores de 6 formam um conjunto finito que pode ser representado deste modo:
Critérios de divisibilidadeNo sistema de numeração decimal, utilizamos regras especiais para saber se um número é ou não divisível por
outro, sem fazer a divisão. Essas regras baseiam-se em principios gerais da divisibilidade.
Analise o que segue.Um número é divisível por:
2
Quando for par, isto é, quando seu último algarismo for 0, 2, 4, 6, 8.
3
Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.
126 é divisível por 3, pois 1 + 2 + 6 = 9 e 9 ÷ 3 = 3
4
Quando os dois últimos algarismos forem 00 ou formarem um número divisível por 4.
500 é divisível por 4; os dois últimos algarismos são 00.
232 é divisível por 4; os dois últimos algarismos formam o número 32, que é divisível por 4.
5
Quando o último algarismo for zero ou 5, isto é, quando terninar em 0 ou 5.
6
Quando for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo.
108 é divisível por 2, pois é par. mas é també por 3: 1 + 0 + 8 = 9 é divisível por 3. Portanto, 108 é divisível por 6.
9
Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.
207 é divisível por 9; 2 + 0 + 7 = 9 e 9 ÷ 9 = 1
10
Quando o algarismo das unidades for zero, isto é, quando termina em zero.
⋅Determinação dos divisores de um número.
Na decomposição de 60 em fatores primos, temos:
60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 22 x 3 x 5
Os divisores de 60 são
d(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Um total de 12 divisores.Existe uma maneira prática de determinar quantos e quais os divisores de um número dado.
1
60
2
2
30
2
4
15
3
3
6
12
5
5
5
10
20
15
30
60
1
Àdireita da coluna dos fatores primos(coluna cinza), começamos marcando o número 1 e cada novo elemento é obtido multiplicando o fator (números da coluna cinza) pelos resultados (números em vermelho).
O total de divisores é obtido adicionando-se a unidade, a cada expoente obtido na decomposição e efetuando a multiplicação. No caso:
60 = 22 x 3 x 5, temos (2 + 1) x (1 + 1) x (1 + 1) = 12 divisores. ⋅ Maior Divisor Comum (MDC) Maximação é a operação que permite determinar o maior divisor comum.
DETERMINAÇÃO DO MAIOR DIVISOR COMUM POR FATORAÇÃO
Determinemos o maior divisor comum dos números 72 e 84.
Primeiramente decompomos os números em fatores primos. Em seguida multiplicamos os fatores primos comuns das fatorações, com seus menores expoentes. O produto obtido é o maior divisor comum.
O M.D.C de 72 e 84 é:
72 = 23 ∗ 32.
84 = 22 ∗ 3 ∗ 7.
M.D.C. (72, 84) = 22 ∗ 3 = 12
Determine o M.D.C dos números dados:
1) 28 e 42 2) 30, 45, 60 3) 40, 64, 72
28
2
....
42
2
O M.D.C de 28 e 42
é = 2 ⋅ 7
= 14
14
2
....
21
3
7
7
....
7
7
1
22⋅ 7
....
1
2 ⋅ 3 ⋅ 7
30
2
....
45
3
....
60
2
....
O M.D.C de 30, 45 e 60
é = 3 ⋅ 5
= 15
15
3
....
15
3
....
30
2
....
5
5
....
5
5
....
15
3
....
1
2 ⋅ 3 ⋅ 5
....
1
32 ⋅ 5
....
5
5
....
.
. . . . .
....
.
. . . .
....
1
22 ⋅ 3 ⋅ 5
....
;
40
2
....
20
2
....
10
2
....
5
5
....
1
23 ⋅ 5
....
.
.. . .
....
.
.. . .
....
64
2
....
32
2
....
16
2
....
8
2
....
4
2
....
2
2
....
1
26
....
72
2
....
O M.D.C de 40, 64 e 72
é = 23
= 8
36
2
....
18
2
....
9
3
....
3
3
....
3
3
....
1
23 ⋅ 33
....
DETERMINAÇÃO DO MAIOR DIVISOR COMUM PELO PROCESSO DE EUCLIDES
É o processo que se fundamenta em divisões sucessivas.
Determinemos o M.D.C. de 858 e 336. Dividimos o maior pelo menor. Não sendo zero o resto, tomamos o menor dos dois números dados e o dividimos pelo resto. Se a divisão não for exata dividimos o resto da primeira divisão pelo resto da segunda divisão e assim sucessivamente. O último divisor obtido com divisão exata é o maior divisor comum.
..
2
1
1
4
6
quocientes
M.D.C.(858, 336) = 6
858
336
186
150
36
6
divisores
186
150
36
6
0
....
restos
Determine pelo processo de Euclides o M.D.C. entre os números 485 e 420
..
1
6
2
6
quocientes
M.D.C. (485, 420) = 5
485
420
65
30
5
divisores
65
30
5
0
....
restos
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
Pode acontecer , que o maior divisor comum de dois ou mais números seja a unidade. Neste caso, dizemos que os números são primos entre si. Vejamos:
d(12) = (1, 2, 3, 4, 6, 12)
d(25) = (1, 5, 25)
d(12) ∩ d(25) = {1}
M.D.C (12, 25) = 1
Obs.: números primos entre si não são obrigatóriamente números primos.
No exemplo, nem 12 nem 25, são primos, mas são números primos entre sí.
