A arte dos traços

Um rosto artístico

Não apenas o desenho no rosto, mas antes o próprio rosto é uma arte.

Matemática

Múltiplos e Dvisores

Múltiplos
Para se obter múltiplos de um número a, multiplica-se a por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...

Simbólicamente os mútiplos de a são representados assim: Ma
Ma→ lê-se "múltiplos de a"

Sendo a igual a 5, os múltiplos de 5 serão representados por: M5
M5→ lê-se "múltiplos de 5"

Para se obter múltiplos de 5, multiplica-se 5 por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ..., isto é:

5 ⋅ 0 = 0 → 0 é múltiplo de 5

5 ⋅ 1 = 5 → 5 é múltiplo de 5

5 ⋅ 2 = 10 → 10 é múltiplo de 5

5 ⋅ 3 = 15 → 15 é múltiplo de 5

e assim por diante.

Os mútiplos de 5 formam um conjunto infinito , que pode ser representado deste modo:

Dvisores
De um modo geral, o conjunto dos divisores de um número a
(a ≠ 0), é o conjunto formado por todos aqueles números que o dividem exatamente.

A representação simbólica de a pode ser assim: Da

Sendo a = 6 os divisores de 6 serão representados por: D6 (divisores de 6).
Veja como se obtém os divisores de 6:

6 ÷ 1 = 6 → 1 é divisor de 6

6 ÷ 2 = 3 → 2 é divisor de 6

6 ÷ 3 = 2 → 3 é divisor de 6

6 ÷ 6 = 1 → 1 é divisor de 6

☡ (cuidado) Zero não é divisor de 6 e de nenhum outro número qualquer.

Os divisores de 6 formam um conjunto finito que pode ser representado deste modo:

Critérios de divisibilidade

No sistema de numeração decimal, utilizamos regras especiais para saber se um número é ou não divisível por
outro, sem fazer a divisão. Essas regras baseiam-se em principios gerais da divisibilidade.

Analise o que segue.

Um número é divisível por:

2	Quando for par, isto é, quando seu último algarismo for 0, 2, 4, 6, 8.
3	Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3. 126 é divisível por 3, pois 1 + 2 + 6 = 9 e 9 ÷ 3 = 3
4	Quando os dois últimos algarismos forem 00 ou formarem um número divisível por 4. 500 é divisível por 4; os dois últimos algarismos são 00. 232 é divisível por 4; os dois últimos algarismos formam o número 32, que é divisível por 4.
5	Quando o último algarismo for zero ou 5, isto é, quando terninar em 0 ou 5.
6	Quando for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo. 108 é divisível por 2, pois é par. mas é també por 3: 1 + 0 + 8 = 9 é divisível por 3. Portanto, 108 é divisível por 6.
9	Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9. 207 é divisível por 9;   2 + 0 + 7 = 9 e 9 ÷ 9 = 1
10	Quando o algarismo das unidades for zero, isto é, quando termina em zero.

⋅

Determinação dos divisores de um número.
Na decomposição de 60 em fatores primos, temos:
60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5
Os divisores de 60 são
d(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Um total de 12 divisores.

Existe uma maneira prática de determinar quantos e quais os divisores de um número dado.

		1
60	2	2
30	2	4
15	3	3	6	12
5	5	5	10	20	15	30	60
1

Àdireita da coluna dos fatores primos(coluna cinza), começamos marcando o número 1 e cada novo elemento é obtido multiplicando o fator (números da coluna cinza) pelos resultados (números em vermelho).

O total de divisores é obtido adicionando-se a unidade, a cada expoente obtido na decomposição e efetuando a multiplicação. No caso:
60 = 2² x 3 x 5, temos (2 + 1) x (1 + 1) x (1 + 1) = 12 divisores.

⋅
Maior Divisor Comum (MDC)
Maximação é a operação que permite determinar o maior divisor comum.

DETERMINAÇÃO DO MAIOR DIVISOR COMUM POR FATORAÇÃO
Determinemos o maior divisor comum dos números 72 e 84.
Primeiramente decompomos os números em fatores primos. Em seguida multiplicamos os fatores primos comuns das fatorações, com seus menores expoentes. O produto obtido é o maior divisor comum.

O M.D.C de 72 e 84 é:

72 = 2³ ∗ 3².
84 = 2² ∗ 3 ∗ 7.


M.D.C. (72, 84) = 2² ∗ 3 = 12

Determine o M.D.C dos números dados:
1)   28 e 42      2)  30, 45, 60      3)  40, 64, 72

28	2	....	42	2	O M.D.C de 28 e 42 é = 2 ⋅ 7 = 14
14	2	....	21	3
7	7	....	7	7
1	22⋅ 7	....	1	2 ⋅ 3 ⋅ 7

30	2	....	45	3	....	60	2	....	O M.D.C de 30, 45 e 60 é = 3 ⋅ 5 = 15
15	3	....	15	3	....	30	2	....
5	5	....	5	5	....	15	3	....
1	2 ⋅ 3 ⋅ 5	....	1	32 ⋅ 5	....	5	5	....
.	. . . . .	....	.	. . . .	....	1	22 ⋅ 3 ⋅ 5	....

;

40	2	....
20	2	....
10	2	....
5	5	....
1	23 ⋅ 5	....
.	.. . .	....
.	.. . .	....

64	2	....
32	2	....
16	2	....
8	2	....
4	2	....
2	2	....
1	26	....

72	2	....	O M.D.C de 40, 64 e 72 é = 23 = 8
36	2	....
18	2	....
9	3	....
3	3	....
3	3	....
1	23 ⋅ 33	....

DETERMINAÇÃO DO MAIOR DIVISOR COMUM PELO PROCESSO DE EUCLIDES

É o processo que se fundamenta em divisões sucessivas.
Determinemos o M.D.C. de 858 e 336. Dividimos o maior pelo menor. Não sendo zero o resto, tomamos o menor dos dois números dados e o dividimos pelo resto. Se a divisão não for exata dividimos o resto da primeira divisão pelo resto da segunda divisão e assim sucessivamente. O último divisor obtido com divisão exata é o maior divisor comum.

..	2	1	1	4	6	quocientes	M.D.C.(858, 336) = 6
858	336	186	150	36	6	divisores
186	150	36	6	0	....	restos

Determine pelo processo de Euclides o M.D.C. entre os números 485 e 420

..	1	6	2	6	quocientes	M.D.C. (485, 420) = 5
485	420	65	30	5	divisores
65	30	5	0	....	restos

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Pode acontecer , que o maior divisor comum de dois ou mais números seja a unidade. Neste caso, dizemos que os números são primos entre si. Vejamos:
d(12) = (1, 2, 3, 4, 6, 12)
d(25) = (1, 5, 25)
d(12) ∩ d(25) = {1}
M.D.C (12, 25) = 1
Obs.: números primos entre si não são obrigatóriamente números primos.
No exemplo, nem 12 nem 25, são primos, mas são números primos entre sí.

Matemática

Equação exponencial

Uma equação é exponencial quando a incógnita está no expoente.

Assim, 2^x = 32 ou 3^x-2 = 27 são exemplos de equação exponencial.

Para resolver equações desse tipo, devemos transformá-las numa igualdade. A partir de bases iguais, devemos igualar os expoentes e, então, determinar o valor da variável :
a^f(x) = a^g(x)→ f(x) = g(x), com a ∈ R_{∗ +}     e a ≠ 1

Exercícios resolvidos

1) Resolva as equações exponenciais a seguir:

a) 2^x = 128
b) 3^x = 1 ⁄ 81
c) 8^x+1 = 4^x+2

Solução:
a) 2^x = 128
Primeiro decompomos o 128 em fatores primos •

128	2
64	2
32	2
16	2
8	2
4	2
2	2
0	27 = 128

a) 2^x = 128 → 2^x= 2⁷ → x = 7

b) 3^x = 1 ⁄ 81

Solução

b) 3^x = 1 ⁄ 81 → 3^x = 1 ⁄ 3⁴→ 3^x = 3^-4
→ x = -4

Detalhando: Na primeira parte da equação "b" temos
3^x = 1 ⁄ 81, na segunda parte
temos 3^x = 1 ⁄ 3⁴, então 81 se transformou em 3⁴, como?

Explicando: Decompondo 81 em fatores primos, como fizemos com o 128 no exercício "a", encontramos 3⁴, ficando assim a equação:
3^x =1 ⁄ 81 = 1 ⁄ 3⁴ = 3^-4 → x = -4

Agora 1 ⁄ 3⁴ se transformou em 3^-4, Como?
Explicando:

(1 ⁄ 3)⁴ = (3 ⁄ 1)^-4 = 3^-4     (Podemos trocar o sinal do expoente
se, simultaneamente, invertermos a base).

3^x = 1 ⁄ 81 → 3^x = 1 ⁄ 3⁴ →
3^x = 3^-4 → x = -4

c) 8^x+1 = 4 ^x+2

Solução

c) 8^x+1 = 4 ^x+2 → (2³)^x+1 = (2²)^x+2→ 2^3x+3 = 2^2x+4 →
3x + 3 = 2x + 4→x = 1
Detalhando 8^x+1 =(decompondo o 8 temos,) (2³)^x+1 (multiplicando 3 por x+1(expoentes de 2)) temos, 2^3x+3
Detalhando 4^x+2 = (decompondo o 4 temos,) (2²)^x+2 (multiplicando 2 por x+2 (expoentes de 2)) temos, 2^2x+4

Então, com as bases igualadas trabalhamos só com os expoentes:

3x + 3 = 2x + 4 →
3x - 2x = 4 - 3 →
x = 1

---

Harmonia dos traços

Um rosto matemático

Matemática

Múltiplos e Divisores.

Múltiplos

Para se obter múltiplos de um número a, multiplica-se a por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...

Simbólicamente os mútiplos de a são representados assim: Ma
Ma→ lê-se "múltiplos de a"

Sendo a igual a 5, os múltiplos de 5 serão representados por: M5
M5→ lê-se "múltiplos de 5"

Para se obter múltiplos de 5, multiplica-se 5 por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ..., isto é:

5 ⋅ 0 = 0 → 0 é múltiplo de 5

5 ⋅ 1 = 5 → 5 é múltiplo de 5

5 ⋅ 2 = 10 → 10 é múltiplo de 5

5 ⋅ 3 = 15 → 15 é múltiplo de 5 e assim por diante.

Os mútiplos de 5 formam um conjunto infinito, que pode ser representado deste modo:

Divisores
De um modo geral, o conjunto dos divisores de um número a
(a ≠ 0), é o conjunto formado por todos aqueles números que o dividem exatamente.

A representação simbólica de a pode ser assim: Da

Sendo a = 6 os divisores de 6 serão representados por: D6 (divisores de 6).
Veja como se obtém os divisores de 6:

6 ÷ 1 = 6 → 1 é divisor de 6

6 ÷ 2 = 3 → 2 é divisor de 6

6 ÷ 3 = 2 → 3 é divisor de 6

6 ÷ 6 = 1 → 1 é divisor de 6 ☡ (cuidado) Zero não é divisor de 6 e de nenhum outro número qualquer.

Os divisores de 6 formam um conjunto finito que pode ser representado deste modo:

Critérios de divisibilidade
No sistema de numeração decimal, utilizamos regras especiais para saber se um número é ou não divisível por outro, sem fazer a divisão. Essas regras baseiam-se em principios gerais da divisibilidade.
Analise o que segue.

Um número é divisível por:

2	Quando for par, isto é, quando seu último algarismo for 0, 2, 4, 6, 8.
3	Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível or 3. 126 é divisível por 3, pois 1 + 2 + 6 = 9   e   9 ÷ 3 = 3
4	Quando os dois últimos algarismos forem 00 ou formarem um número divisível por 4. 500 é divisível por 4; os dois últimos algarismos são 00. 232 é divisível por 4; os dois últimos algarismos formam o número 32, que é divisível por 4.
5	Quando o último algarismo for zero ou 5, isto é, quando terninar em 0 ou 5.
6	Quando for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo. 108 é divisível por 2, pois é par. Mas é também por 3: 1 + 0 + 8 = 9 e 9 é divisível por 3. Portanto, 108 é divisível por 6.
9	Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9. 207 é divisível por 9;   2 + 0 + 7 = 9  e  9 ÷ 9 = 1
10	Quando o algarismo das unidades for zero, isto é, quando termina em zero.

Determinação dos divisores de um número.
Na decomposição de 60 em fatores primos, temos:
60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 2² x 3 x 5
Os divisores de 60 são
d(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Um total de 12 divisores.

Existe uma maneira prática de determinar quantos e quais os divisores de um número dado.

		1
60	2	2
30	2	4
15	3	3	6	12
5	5	5	10	20	15	30	60
1

À direita da coluna dos fatores primos(coluna cinza), começamos marcando o número 1 e cada novo elemento é obtido multiplicando o fator (números da coluna cinza) pelos resultados (números em vermelho).

O total de divisores é obtido adicionando-se a unidade, a cada expoente obtido na decomposição e efetuando a multiplicação. No caso:
60 = 2² x 3 x 5, temos (2 + 1) x (1 + 1) x (1 + 1) = 12 divisores.

Beleza

Revisão de Potenciação e Radiciação

Potenciação

Para a ∈ R_eais, b ∈ R_eais, n ∈ N_aturais,
temos:

aⁿ = b → Ond a é a base, n é o expoente e b é a potência.

Assim definimos: •  a⁰ = 1           •  a¹ = a

Se n≥ 2 então,      •  aⁿ = a ·a· . . . ·a (a multiplicado n

vezes)             • a⁻ⁿ = 1 ⁄ aⁿ,       a ≠ 0.

Propriedades

Para m ∈ Z, n ∈ Z, a ∈ R, e b ∈ R, temos:

a)    b) 

 c)         d)

  e)

Radiciação

Para a ∈ R, b ∈ R e n ∈ N^∗, temos:

ⁿ√ b = a    ♐ Onde n é o índice, b é o radicando, √ é o

radical e a é a raiz.

Assim:    ⁿ√ b = a → b =aⁿ

Propriedades

a)       (Raiz n de a multiplicado

pela raiz n de b = a raiz n de a multiplicado por b).
Um exemplo com números:   ²√4 ⋅ ²√9   =   ²√4 ⋅ 9

b)       (Raiz n de a

dividido pela raiz n de b é = a raiz n de a dividido por b , b

diferente de 0 ).
Exemplo numérico:   ²√16  ⁄  ²√4   =   ²√16 ⁄ 4,    4 ≠0

c)    (Raiz n da raiz m de a é igual a

raiz n vezes m de a ).
Exemplo numérico:

²√³√729  =  ^{2 ⋅3}√729.

d)    (Raiz n de a elevado a p é

igual a raiz n de a^p, p pertence aos números naturais.
Exemplo numérico: (²√4)³   =   ²√4³,    3 ≠ N^∗

e)    (Raiz n de a elevado

a m é igual a raiz n

multiplicado por p de a elevado a m multiplicado por p,

p   pertence aos números naturais não nulos.

Exemplo numérico: ²√3⁴   =   ^2⋅5√3^4⋅5   5 ≠ N^∗

Observação: Para radicais de índice par, devemos ter b ≥ 0 e

a ≥ 0.

Potenciação com expoente racional.

Sendo p ∈ Z, n ∈ N^∗, temos:

a ∈ R₊ → a^{p ⁄ n} = ⁿ√a^p

a = 0	0p ⁄ n = 0, para p ⁄ n > 0
	0p ⁄ n não é definido para p ⁄ n ≤ 0

a ∈ Rpoditivos	ap ⁄ n nem sempre é real se n for par
	ap ⁄ n = n√ap se n for impar

Todas as propriedades da potenciação com expoente inteiro são válidas também para potenciação com expoente racional.

Calcule:
a) 23(1⁄2)2	b) √24	c) (4√2)3
Solução
= = = = =	= = =	= =