O Índice de Experiência do Windows mede a capacidade de configuração de hardware e software do computador e expressa essa medida como um número denominado pontuação básica. Uma pontuaçã
o básica mais alta significa geralmente que o computador terá um desempenho melhor e mais rápido do que um computador com uma pontuação básica mais baixa ao executar tarefas mais avançadas e intensivas em recursos.
Cada componente de hardware recebe um subtotal individual. A pontuação básica do computador é determinada pelo menor subtotal. Por exemplo, se o menor subtotal de um componente individual de hardware for 2,6, a pontuação básica será 2,6. A pontuação básica não é uma média dos subtotais combinados.
Você pode usar a pontuação básica para comprar programas de forma confidencial e outros softwares que correspondem à pontuação básica do computador. Por exemplo, se o computador tiver uma pontuação básica de 3,3, você poderá comprar seguramente qualquer software projetado para essa versão do Windows que exija um computador com pontuação básica de 3 ou menos.
Odete Righi, mais conhecida como Odete Lara (São Paulo, 17 de abril de 1929) é uma atriz, cantora e escritora brasileira.
Dentre os filmes com Odete Lara está Bonitinha mas Ordinária é um filme brasileiro de 1963 dirigido por Billy Davis, com roteiro de Jorge Dória e Nelson Rodrigues, autor da peça homônima em que se baseou o filme.
Frações Ordinárias
Definição de fração - Uma fração representa uma ou mais partes iguais em que a unidade foi dividida, escrevendo-se na forma usada para uma divisão. Assim, por exemplo, ¼ de polegada indica que uma polegada foi dividida em quatro partes, tomando-se uma delas. Para mostrarmos que a fração indica uma divisão, poderíamos escrever 1 ÷ 4.
Na fração ¼, o número de partes tomadas, 1, é chamado numerador da fração ou, em outras palavras, o denominador é o divisor e o numerador é o dividendo. Número misto - Chama-se número misto aquele que é formado por um número inteiro e por uma fração, por exemplo, 4 + ⅝ é um número misto. O número inteiro é 4 e a fração é ⅝. Isto quer dizer 4 e ⅝, o que é o mesmo que 4 + ⅝. Frações próprias - Uma fração é chamada própria quando o numerador é menor que o denominador. Exemplificando, são frações próprias ¼, ¾, ⅛, ⅜, ⅝, ⅞, ½. Frações impróprias - Uma fração é chamada imprópria quando o numerador é igual ou maior que o denominador. Estas frações, por exemplo são impróprias: 4 ⁄ 3, 32 ⁄ 25, 7 ⁄ 3, 4 ⁄ 4, 125 ⁄ 12. Frações aparentes - São frações impróprias, de numerador múltiplo do denominador.
Exemplos: 3 ⁄ 1, 4 ⁄ 2, 5 ⁄ 5, 15 ⁄ 5. Redução de números inteiros a frações impróprias
- A redução de um número inteiro a uma fração imprópria é feita da seguinte maneira:
EXEMPLOS a) Reduzir 7 a oitavos 7 × 8 ⁄ 8 = 56 ⁄8
Sendo8 ⁄ 8 =1, 7 multiplicado por 8 ⁄ 8 é igual a 7 multiplicado po 1. b) Reduzir 5 a meios 5 × 2 ⁄ 2 = 10 ⁄ 2 A redução de números mistos a frações impróprias é feita da seguinte maneira: c) Reduzir o número misto 4 ½ a uma fração imprópria
Multiplica-se 2 por 4 e soma-se a 1. O resultado 9 é colocado sobre o 2. Sendo 4 igual a 8 ⁄ 2, temos 8 ⁄ 2 + 1 ⁄ 2 = 9 ⁄ 2, ou oito meios mais um meio é igual a 9 meios (9 ⁄ 2). EXERCÍCIOS: Transforme em frações impróprias os números mistos: 1)2 1 ⁄ 3
2)3 1 ⁄ 2
3)4 1 ⁄ 2
4)3 1 ⁄ 4
5)7 1 ⁄ 2
Redução de frações impróprias a números mistos
EXEMPLOS a) Reduzir 16 ⁄ 2 a um número inteiro
16 ⁄ 2 = 16 ÷ 2 = 8
b) Reduzir 9 ⁄ 2 a um número misto 9 ⁄ 2 = 9 ÷ 2 = 4 ½ pois o cosciente será o número inteiro, o resto será o numeradorr e o divisor será o denominador
EXERCÍCIOS: Transforme em números mistos as frações impróprias:
1) 5 ⁄ 2
2) 8 ⁄ 3
3) 15 ⁄ 2
4) 10 ⁄ 3
5) 9 ⁄ 4Frações equivalentes -Dada uma fração, por exemplo, 1 ⁄ 2, podemos obter infinitas frações equivalentes à fração dada, bastando para isso multiplicar o numerador e o denominador da fração por um mesmo número diferente de zero: 1 ⁄ 2 = 2 ⁄ 4, pois 1 × 2 = 2 e 2 × 2 = 4
1 ⁄ 2 = 3 ⁄ 6, pois 1 × 3 = 3 e 2 × 3 = 6
1 ⁄ 2 = 4 ⁄ 8, pois 1 × 4 = 4 e 2 × 4 = 8
Simplificação de frações - Dada a fração 1 ⁄ 3, uma de suas frações equivalentes é 2 ⁄ 6. Esta fração 2 ⁄ 6 foi obtida pela multiplicação dos termos de 1 ⁄ 3 por 2. Isto quer dizer que se dividir-mos os termos de 2 ⁄ 6 por 2 , acharemos uma fração equivalente a 2 ⁄ 6, que no caso é 1 ⁄ 3. Logo, dado uma fração qualquer, dividindo os termos da fração pelo M.D.C. de seus termos, chegaremos a uma fração onde o numerador e o denominador são primos entre si, chamada forma irredutível.
Esta operacção é chamada de simplificação da fração. A simplificação pode ser feita também por etapas. Por exemplo:
Simplificar 54 ⁄ 72.
I) Simplificando por 2: 54 ⁄ 72 = 27 ⁄ 36
II) Simplificando por 3: 27 ⁄ 36 = 9 ⁄ 12
III) Simplificando por 3: 9 ⁄ 12 = 3 ⁄ 4 como 3 e 4 são primos entre si, chegamos a forma irredutível da fração 54 ⁄ 72.
Logo: 54 ⁄ 72 = 3 ⁄ 4A outra maneira de simplificar uma fação é calcular o M.D.C. e simplificar diretamente por este valor.
O M.D.C. de 54 e 72 é
O M.D.C. de 54 e 72 é:
54
2
...
72
2
27
3
...
36
2
9
3
...
18
2
3
3
...
9
3
1
2 ⋅ 33
...
3
3
...
.....
...
1
23 ⋅ 32
M.D.C. (54, 72) = 18
Simplificando 54 ⁄ 72 por 18, temos 3 ⁄ 4. Logo: 54 ⁄ 72 = 3 ⁄ 4 EXERCÍCIOS: Reduza cada fração a sua forma irredutível:
1) 8 ⁄ 6
2) 10 ⁄ 12
3) 10 ⁄ 14
4) 5 ⁄ 15
5) 9 ⁄ 12Redução de frações ao menor denominador comum - Veja como devemos proceder para reduzirmos as frações ao menor denominador comum:
a) Achamos o M.M.C. dos denominadores
b) Dividimos o M.M.C. obtido pelo denominador de cada
fração e multiplicamos o quociente obtido pelo respectivo
numerador da fração.
Exemplo:
Reduzir ao mesmo denominador as frações 1 ⁄ 4 e 2 ⁄ 3
2 ⁄ 3 → 12 ÷ 3 = 4 e 4 × 2 = 8, logo 2 ⁄ 3 = 8 ⁄ 12
> EXERCÍCIOS: Reduza as frações dadas ao menor denominador comum:
1) 2 ⁄ 3, 1 ⁄ 8
2) 1 ⁄ 2, 2 ⁄ 5
3) 1 ⁄ 2, 1 ⁄ 4, 1 ⁄ 12
4) 2 ⁄ 7, 1 ⁄ 2, 1 ⁄ 4
5) 1 ⁄ 12, 3 ⁄ 4, 2 ⁄ 3
Comparação de frações - Numeradores iguais
Frações de mesmo numerador, é maior aquela que tiver menor denominador.
Comparação de frações- Denominadores iguais
Frações com mesmo denominador, é maior aquela que tem o maior numerador. 2 ⁄ 5 é menor que 3 ⁄ 5 Comparação de frações- Numeradores diferentes e Denominadores diferentes
Para compararmos frações com numeradores diferentes e denominadores diferentes, reduzimos as frações ao menor denominador comum, usando o conceito de frações equivalentes e comparamos os numeradores.
As frações 2 ⁄ 3 e 1 ⁄ 2 tem M.M.C. = 6, então 2 ⁄ 3 = 4 ⁄ 6 e 1 ⁄ 2 = 3 ⁄ 6. Como 4 ⁄ 6 é maior que 3 ⁄ 6 e 4 ⁄ 6 = 2 ⁄ 3 e 3 ⁄ 6 = 1 ⁄ 2, temos que: 2 ⁄ 3 maior que 1 ⁄ 2. Operações com frações - Adição
Vamos considerar dois casos na adição de números racionais não negativos, representados por frações. Frações homogêneas (frações de mesmo denominador).
Na adição de frações com o mesmo denominador, adicionamos os numeradores e conservamos o denominador comum.
Exemplos: 3 ⁄ 7 + 2 ⁄ 7 = 3+2 ⁄ 7 = 5 ⁄ 7. 1 ⁄ 8 + 2 ⁄ 8 + 4 ⁄ 8 = 1+2+4 ⁄ 8 = 7 ⁄ 8. Frações heterogêneas (frações de denominadores diferentes).
Na adição de frações de denominadores diferentes, devemos reduzí-las ao mesmo denominador para então efetuarmos a adição. Se ocorrerem números mistos, como por exemplo 3½, devemos tranansformá-los em frações impróprias, a fim de que o cálculo seja facilitado: 3½ = 7 ⁄ 2.
Exemplos: 1 ⁄ 2 + 1 ⁄ 3 = 3 ⁄ 6 + 2 ⁄ 6 = 3+2 ⁄ 6 = 5 ⁄ 6 pois 1 ⁄ 2 é equivalente a 3 ⁄ 6 e 1 ⁄ 3 é equivalente a 2 ⁄ 6 , sendo o M.M.C. (2, 3) = 6. Propriedades - A adição de números racionais não negativos possui as propriedades:
Operações com frações - Subtração
Vamos considerar dois casos na subtração de números racionais não negativos, representados por frações. Frações homogêneas (frações de mesmo denominador).
Na subtração de duas frações com o mesmo denominador, subtraimos os numeradores e conservamos os denominador comum.
Exemplos: 8 ⁄ 5 - 2 ⁄ 5 = 8-2 ⁄ 5 = 6 ⁄ 5 10 ⁄ 7 - 8 ⁄ 7 = 10-8 ⁄ 7 = 2 ⁄ 7
Repare que a diferença deve ser sempre possível no conjunto dos números racionais não negativos. Frações heterogêneas (frações de denominadores diferentes).
Na subtração de duas frações de denominadores diferentes, devemos reduzí-las ao mesmo denominador, para então efetuarmos a subtração
Exemplos: 4 ⁄ 5 - 1 ⁄ 2 = 8 ⁄ 10 - 5 ⁄ 10 = 8-5 ⁄ 10 = 3 ⁄ 10 pois 4 ⁄ 5 é equivalente a 8 ⁄ 10 e 1 ⁄ 2 é equivalente a 5 ⁄ 10, sendo o M.M.C. (5, 2) = 10
Operações com frações - Multiplicação
Na multiplicação de frações o produto é obtido multiplicando-se os numeradores e os denominadores entre si.
Exemplos: 1) 1 ⁄ 3 × 2 ⁄ 5 = 1×2 ⁄ 3×5 = 2 ⁄ 15 2) 3 × 2 ⁄ 5 = 3 ⁄ 1 × 2 ⁄ 5 = 3×2 ⁄ 1×5 = 6 ⁄ 5
Existem casos em que é possível simplificar: 3 ⁄ 4 × 2 ⁄ 9 = (3÷3) ⁄ (4÷2) × (2÷2) ⁄ (9÷3) = 1×1 ⁄ 2×3 =
1 ⁄ 6 Propriedades - A multiplicação de dois ou mais números racionais não negativos possui as propriedades:
Frações inversas.
Dada a fração 2 ⁄ 5, por quanto devemos multiplicá-la de modo que o produto seja igual a 1 ?
2⁄ 5 × ? ⁄ ? = 1, concluímos ser 5 ⁄ 2 esta fração pois
2 ⁄ 5 × 5 ⁄ 2 = 10 ⁄ 10 = 1.
A fração 5 ⁄ 2 é a fração inversa da fração 2 ⁄ 5, ou seja, as frações 5 ⁄ 2 e 2 ⁄ 5 são frações inversas.
Toda fração a ⁄ b, com a ≠ 0 e b ≠ 0 admite uma fração inversa, igual a b ⁄ a.
Para achar a fração inversa de uma fração é só inverter o numerador com o denominador.
Operações com frações - Divisão
Na divisão de duas frações multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda fração.
Nestes casos a segunda fração deve ser diferente de zero.
a) Operação:Minimação Já vimos a determinação de mútiplos de qualquer número natural. Vimos que os múltiplos de 2 são: M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}
Vimos que os múltiplos de 3 são: M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ...} Se compararmos os dois conjuntos e excluírmos o elemento zero teremos: A= {2, 4, , 8, 10, , 14, ...} e B = {3, , 9, , 15, 18, 21, 24, ...} Como vemos A ∩ B = {6, 12, , ...}, onde este conjunto A ∩ B é o conjunto intersecção dos múltiplos comuns de 2 e de 3. Destes múltiplos comuns existe um que é o menor de todos, que passa a ser chamado de MENOR MÚLTIPLO COMUM Representamos assim: M.M.C. (2, 3) = 6 que se lê: o menor múltiplo comum de 2 e 3 é 6. A operação para determinação do M.M.C. de dois ou mais números é a MINIMAÇÃO.A= {2, 4, , 8, 10, , 14, ...} e B = {3, , 9, , 15, 18, 21, 24, ...} Como vemos A ∩ B = {6, 12, , ...}, onde este conjunto A ∩ B é o conjunto intersecção dos múltiplos comuns de 2 e de 3. Destes múltiplos comuns existe um que é o menor de todos, que passa a ser chamado de MENOR MÚLTIPLO COMUM Representamos assim: M.M.C. (2, 3) = 6 que se lê: o menor múltiplo comum de 2 e 3 é 6. A operação para determinação do M.M.C. de dois ou mais números é a MINIMAÇÃO.b) Determinação do M.M.C. O processo da determinação do menor múltiplo comum de dois ou mais números, é análogo ao processo da determinação do maior divisor comum. Devemos decompor em produto de fatores primos cada número dado. O M.M.C. resultará do produto de todos os fatores primos encontrados, comuns e não comuns, tomados sempre com os maiores expoentes encontrados na fatoração.Exemplos
Detrminar o M.M.C. dos números 24 e 30
24
2
...
30
2
12
2
...
15
3
06
2
...
05
5
03
3
...
1
2 ⋅ 3 ⋅ 5
01
23 ⋅ 3
...
. . .
. . . . .
M.M.C. (24, 30) = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120
Detrminar o M.M.C. dos números 12, 18 e 20
12
2
...
18
2
...
20
2
06
2
...
09
3
...
10
2
03
3
...
03
3
...
05
5
01
22 ⋅ 3
...
01
2 ⋅ 32
...
01
22 ⋅ 5
M.M.C. (12, 18, 30) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180
Podemos determinar o M.M.C., decompondo em fatores primos, todos os números dados ao mesmo tempo.
Múltiplos
Para se obter múltiplos de um número a, multiplica-se a por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...Simbólicamente os mútiplos de a são representados assim: Ma Ma→ lê-se "múltiplos de a"Sendo a igual a 5, os múltiplos de 5 serão representados por: M5 M5→ lê-se "múltiplos de 5"Para se obter múltiplos de 5, multiplica-se 5 por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ..., isto é:
5 ⋅ 0 = 0 → 0 é múltiplo de 5
5 ⋅ 1 = 5 → 5 é múltiplo de 5
5 ⋅ 2 = 10 → 10 é múltiplo de 5
5 ⋅ 3 = 15 → 15 é múltiplo de 5
e assim por diante.
Os mútiplos de 5 formam um conjunto infinito , que pode ser representado deste modo:
Dvisores
De um modo geral, o conjunto dos divisores de um número a
(a ≠ 0), é o conjunto formado por todos aqueles números que o dividem exatamente.
A representação simbólica de a pode ser assim: DaSendo a = 6 os divisores de 6 serão representados por: D6 (divisores de 6).
Veja como se obtém os divisores de 6:
6 ÷ 1 = 6 → 1 é divisor de 6
6 ÷ 2 = 3 → 2 é divisor de 6
6 ÷ 3 = 2 → 3 é divisor de 6
6 ÷ 6 = 1 → 1 é divisor de 6
☡ (cuidado) Zero não é divisor de 6 e de nenhum outro número qualquer.Os divisores de 6 formam um conjunto finito que pode ser representado deste modo:
Critérios de divisibilidadeNo sistema de numeração decimal, utilizamos regras especiais para saber se um número é ou não divisível por
outro, sem fazer a divisão. Essas regras baseiam-se em principios gerais da divisibilidade.
Analise o que segue.Um número é divisível por:
2
Quando for par, isto é, quando seu último algarismo for 0, 2, 4, 6, 8.
3
Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.
126 é divisível por 3, pois 1 + 2 + 6 = 9 e 9 ÷ 3 = 3
4
Quando os dois últimos algarismos forem 00 ou formarem um número divisível por 4.
500 é divisível por 4; os dois últimos algarismos são 00.
232 é divisível por 4; os dois últimos algarismos formam o número 32, que é divisível por 4.
5
Quando o último algarismo for zero ou 5, isto é, quando terninar em 0 ou 5.
6
Quando for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo.
108 é divisível por 2, pois é par. mas é també por 3: 1 + 0 + 8 = 9 é divisível por 3. Portanto, 108 é divisível por 6.
9
Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.
207 é divisível por 9; 2 + 0 + 7 = 9 e 9 ÷ 9 = 1
10
Quando o algarismo das unidades for zero, isto é, quando termina em zero.
⋅Determinação dos divisores de um número.
Na decomposição de 60 em fatores primos, temos:
60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 22 x 3 x 5
Os divisores de 60 são
d(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Um total de 12 divisores.Existe uma maneira prática de determinar quantos e quais os divisores de um número dado.
1
60
2
2
30
2
4
15
3
3
6
12
5
5
5
10
20
15
30
60
1
Àdireita da coluna dos fatores primos(coluna cinza), começamos marcando o número 1 e cada novo elemento é obtido multiplicando o fator (números da coluna cinza) pelos resultados (números em vermelho).
O total de divisores é obtido adicionando-se a unidade, a cada expoente obtido na decomposição e efetuando a multiplicação. No caso:
60 = 22 x 3 x 5, temos (2 + 1) x (1 + 1) x (1 + 1) = 12 divisores. ⋅ Maior Divisor Comum (MDC) Maximação é a operação que permite determinar o maior divisor comum.
DETERMINAÇÃO DO MAIOR DIVISOR COMUM POR FATORAÇÃO
Determinemos o maior divisor comum dos números 72 e 84.
Primeiramente decompomos os números em fatores primos. Em seguida multiplicamos os fatores primos comuns das fatorações, com seus menores expoentes. O produto obtido é o maior divisor comum.
O M.D.C de 72 e 84 é:
72 = 23 ∗ 32.
84 = 22 ∗ 3 ∗ 7.
M.D.C. (72, 84) = 22 ∗ 3 = 12
Determine o M.D.C dos números dados:
1) 28 e 42 2) 30, 45, 60 3) 40, 64, 72
28
2
....
42
2
O M.D.C de 28 e 42
é = 2 ⋅ 7
= 14
14
2
....
21
3
7
7
....
7
7
1
22⋅ 7
....
1
2 ⋅ 3 ⋅ 7
30
2
....
45
3
....
60
2
....
O M.D.C de 30, 45 e 60
é = 3 ⋅ 5
= 15
15
3
....
15
3
....
30
2
....
5
5
....
5
5
....
15
3
....
1
2 ⋅ 3 ⋅ 5
....
1
32 ⋅ 5
....
5
5
....
.
. . . . .
....
.
. . . .
....
1
22 ⋅ 3 ⋅ 5
....
;
40
2
....
20
2
....
10
2
....
5
5
....
1
23 ⋅ 5
....
.
.. . .
....
.
.. . .
....
64
2
....
32
2
....
16
2
....
8
2
....
4
2
....
2
2
....
1
26
....
72
2
....
O M.D.C de 40, 64 e 72
é = 23
= 8
36
2
....
18
2
....
9
3
....
3
3
....
3
3
....
1
23 ⋅ 33
....
DETERMINAÇÃO DO MAIOR DIVISOR COMUM PELO PROCESSO DE EUCLIDES
É o processo que se fundamenta em divisões sucessivas.
Determinemos o M.D.C. de 858 e 336. Dividimos o maior pelo menor. Não sendo zero o resto, tomamos o menor dos dois números dados e o dividimos pelo resto. Se a divisão não for exata dividimos o resto da primeira divisão pelo resto da segunda divisão e assim sucessivamente. O último divisor obtido com divisão exata é o maior divisor comum.
..
2
1
1
4
6
quocientes
M.D.C.(858, 336) = 6
858
336
186
150
36
6
divisores
186
150
36
6
0
....
restos
Determine pelo processo de Euclides o M.D.C. entre os números 485 e 420
..
1
6
2
6
quocientes
M.D.C. (485, 420) = 5
485
420
65
30
5
divisores
65
30
5
0
....
restos
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
Pode acontecer , que o maior divisor comum de dois ou mais números seja a unidade. Neste caso, dizemos que os números são primos entre si. Vejamos:
d(12) = (1, 2, 3, 4, 6, 12)
d(25) = (1, 5, 25)
d(12) ∩ d(25) = {1}
M.D.C (12, 25) = 1
Obs.: números primos entre si não são obrigatóriamente números primos.
No exemplo, nem 12 nem 25, são primos, mas são números primos entre sí.
Uma equação é exponencial quando a incógnita está no expoente.
Assim, 2x = 32 ou 3x-2 = 27 são exemplos de equação exponencial.
Para resolver equações desse tipo, devemos transformá-las numa igualdade. A partir de bases iguais, devemos igualar os expoentes e, então, determinar o valor da variável : af(x) = ag(x)→ f(x) = g(x), com a ∈ R∗ + e a ≠ 1
Exercícios resolvidos
1) Resolva as equações exponenciais a seguir:
a) 2x = 128
b) 3x = 1 ⁄ 81
c) 8x+1 = 4x+2
Solução: a) 2x = 128
Primeiro decompomos o 128 em fatores primos •
128
2
64
2
32
2
16
2
8
2
4
2
2
2
0
27 = 128
a) 2x = 128 → 2x= 27 → x = 7
b) 3x = 1 ⁄ 81
Solução
b) 3x = 1 ⁄ 81 → 3x = 1 ⁄ 34→ 3x = 3-4 → x = -4
Detalhando: Na primeira parte da equação "b" temos
3x = 1 ⁄ 81, na segunda parte
temos 3x = 1 ⁄ 34, então 81 se transformou em 34, como?
Explicando: Decompondo 81 em fatores primos, como fizemos com o 128 no exercício "a", encontramos 34, ficando assim a equação: 3x =1 ⁄ 81 = 1 ⁄ 34 = 3-4 → x = -4Agora 1 ⁄ 34 se transformou em 3-4, Como? Explicando:
(1 ⁄ 3)4 = (3 ⁄ 1)-4 = 3-4 (Podemos trocar o sinal do expoente se, simultaneamente, invertermos a base).
3x = 1 ⁄ 81 → 3x = 1 ⁄ 34 → 3x = 3-4 → x = -4
c) 8x+1 = 4 x+2
Solução
c) 8x+1 = 4 x+2 → (23)x+1 = (22)x+2→ 23x+3 = 22x+4 → 3x + 3 = 2x + 4→x = 1 Detalhando 8x+1 =(decompondo o 8 temos,) (23)x+1 (multiplicando 3 por x+1(expoentes de 2)) temos,23x+3 Detalhando 4x+2 = (decompondo o 4 temos,) (22)x+2 (multiplicando 2 por x+2 (expoentes de 2)) temos, 22x+4Então, com as bases igualadas trabalhamos só com os expoentes:
Para se obter múltiplos de um número a, multiplica-se a por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...Simbólicamente os mútiplos de a são representados assim: Ma Ma→ lê-se "múltiplos de a"Sendo a igual a 5, os múltiplos de 5 serão representados por: M5 M5→ lê-se "múltiplos de 5"Para se obter múltiplos de 5, multiplica-se 5 por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ..., isto é:
5 ⋅ 0 = 0 → 0 é múltiplo de 5
5 ⋅ 1 = 5 → 5 é múltiplo de 5
5 ⋅ 2 = 10 → 10 é múltiplo de 5
5 ⋅ 3 = 15 → 15 é múltiplo de 5
e assim por diante.
Os mútiplos de 5 formam um conjunto infinito, que pode ser representado deste modo:
Divisores
De um modo geral, o conjunto dos divisores de um número a
(a ≠ 0), é o conjunto formado por todos aqueles números que o dividem exatamente.
A representação simbólica de a pode ser assim: DaSendo a = 6 os divisores de 6 serão representados por: D6 (divisores de 6).
Veja como se obtém os divisores de 6:
6 ÷ 1 = 6 → 1 é divisor de 6
6 ÷ 2 = 3 → 2 é divisor de 6
6 ÷ 3 = 2 → 3 é divisor de 6
6 ÷ 6 = 1 → 1 é divisor de 6
☡ (cuidado) Zero não é divisor de 6 e de nenhum outro número qualquer.Os divisores de 6 formam um conjunto finito que pode ser representado deste modo:
Critérios de divisibilidade
No sistema de numeração decimal, utilizamos regras especiais para saber se um número é ou não divisível por outro, sem fazer a divisão. Essas regras baseiam-se em principios gerais da divisibilidade.
Analise o que segue.Um número é divisível por:
2
Quando for par, isto é, quando seu último algarismo for 0, 2, 4, 6, 8.
3
Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível or 3.
126 é divisível por 3, pois 1 + 2 + 6 = 9 e 9 ÷ 3 = 3
4
Quando os dois últimos algarismos forem 00 ou formarem um número divisível por 4.
500 é divisível por 4; os dois últimos algarismos são 00.
232 é divisível por 4; os dois últimos algarismos formam o número 32, que é divisível por 4.
5
Quando o último algarismo for zero ou 5, isto é, quando terninar em 0 ou 5.
6
Quando for divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo.
108 é divisível por 2, pois é par. Mas é também por 3:
1 + 0 + 8 = 9 e 9 é divisível por 3. Portanto, 108 é divisível por 6.
9
Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.
207 é divisível por 9; 2 + 0 + 7 = 9 e 9 ÷ 9 = 1
10
Quando o algarismo das unidades for zero, isto é, quando termina em zero.
Determinação dos divisores de um número.
Na decomposição de 60 em fatores primos, temos:
60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 22 x 3 x 5
Os divisores de 60 são
d(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Um total de 12 divisores.Existe uma maneira prática de determinar quantos e quais os divisores de um número dado.
1
60
2
2
30
2
4
15
3
3
6
12
5
5
5
10
20
15
30
60
1
À direita da coluna dos fatores primos(coluna cinza), começamos marcando o número 1 e cada novo elemento é obtido multiplicando o fator (números da coluna cinza) pelos resultados (números em vermelho).
O total de divisores é obtido adicionando-se a unidade, a cada expoente obtido na decomposição e efetuando a multiplicação. No caso:
60 = 22 x 3 x 5, temos (2 + 1) x (1 + 1) x (1 + 1) = 12 divisores.
Quando o senador americano e ativista do meio ambiente Gaylord Nelson chamou a atenção dos Estados Unidos para o que chamou de ‘Dia da Terra’, em 22 de abril de 1970, 20 milhões de universitários se mobilizaram para discutir a degradação do meio ambiente. Hoje, 144 países se unem em ações para inspirar a humanidade a apreciar as belezas naturais da Terra a fim de preservá-las. Atualmente, estima-se que 500 milhões de pessoas se envolvam com os princípios defendidos pelo dia, todos os anos. Uma dessas pessoas é o norueguês Terje Sorgjerd. 'Apreciar a natureza' tornou-se uma espécie de mantra na vida do fotógrafo de 32 anos. Em 2010, ele e a namorada registraram tempestades vulcânicas próximas ao vulcão Eyjafjallajökull, vistas de perto pela primeira vez através das lentes de um fotógrafo. Tomado pelo ímpeto de registrar imagens ainda mais impressionantes sobre a natureza, Sorgjed foi até a Sibéria e fez um vídeo espetacular sobre a aurora boreal. As imagens causaram tanta repercussão — foram aclamados em grandes mídias como o Discovery Channel, National Geographic e NBC — que o fotógrafo reuniu seu equipamento mais uma vez e partiu para uma nova aventura: fazer imagens da Via Láctea a partir da El Teide, a montanha mais alta da Espanha, com 3.718 metros de altura.
Sorgjed passou uma semana praticamente sem dormir registrando as imagens. É nesse lugar que está construído o observatório do Teide, um dos maiores do mundo. O fotógrafo conta que já esteve lá pelo menos 10 vezes e escolheu 50 localidades para fazer as imagens. Entre os dias 4 e 11 de abril rodou a montanha com uma câmera, tripé, baterias e até um trilho para dar o movimento característico de seus vídeos. Só não levou saco de dormir porque, segundo ele, não havia tempo a perder dormindo. "Eu tinha uma semana para registrar as imagens da Via Láctea e elas precisavam ser feitas durante a noite. Durante o dia eu ia de um lugar para o outro", conta em entrevista ao site de VEJA. Sol noturno - Qual seria o próximo destino do fotógrafo? Ele já tem alguns em mente. O que está recebendo mais atenção é o Pólo Norte. Sorgjed, que é financiado por empresas que utilizam suas imagens comercialmente, quer registrar no Ártico o 'sol da meia-noite'. "Quero mostrar para as pessoas como é o sol que nunca se põe", explica o fotógrafo em referência à dinâmica dos dias nos pólos da Terra.
